《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 若关于x的方程$x^2 - 2kx + k - 3 = 0的一个实数根x_1 \geq 3$,另一个实数根$x_2 \leq 0$,则关于x的二次函数$y = x^2 - 2kx + k - 3$图象的顶点到x轴距离h的最大值是9.

答案： 9

2. 如图,抛物线$y_1 = -x^2 + 4$,$y_2 = -\frac{1}{5}x^2 + bx + c$相交于A,B两点,点A在x轴的负半轴上,且A为抛物线$y_2$的最高点.
(1) 求抛物线$y_2$对应的函数解析式和点B的坐标.
(2) 若C是抛物线$y_1$上A,B之间的一点,过点C作x轴的垂线,交抛物线$y_2$于点D,连接BD,BC,则当线段CD的长取最大值时,求$S_{\triangle BCD}$.

答案：
(1)当y_{1}=0时,-x^{2}+4=0,解得x=2或x=-2.
∵点A在x轴的负半轴上,
∴A(-2,0).
∵A(-2,0)是抛物线y_{2}的最高点,
∴$-\frac {b}{2×(-\frac {1}{5})}=-2,$解得$b=-\frac {4}{5}.$把A(-2,0)代入$y_{2}=-\frac {1}{5}x^{2}-\frac {4}{5}x+c,$得$0=-\frac {4}{5}+\frac {8}{5}+c,$解得$c=-\frac {4}{5}.$
∴抛物线y_{2}对应的函数解析式为$y_{2}=-\frac {1}{5}x^{2}-\frac {4}{5}x-\frac {4}{5}.$联立$\begin{cases}y=-x^{2}+4\\y=-\frac {1}{5}x^{2}-\frac {4}{5}x-\frac {4}{5}\end{cases},$解得$\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}$或$\begin{cases}x=3\\y=-5\end{cases}.$
∵A(-2,0),
∴B(3,-5).
(2)设点C的横坐标为x.由题意,得$CD=-x^{2}+4-(-\frac {1}{5}x^{2}-\frac {4}{5}x-\frac {4}{5})=-\frac {4}{5}x^{2}+\frac {4}{5}x+\frac {24}{5}.$当$x=-\frac {b}{2a}=\frac {1}{2}$时$,CD_{最大}=-\frac {4}{5}×\frac {1}{4}+\frac {4}{5}×\frac {1}{2}+\frac {24}{5}=5.$
∴$S_{\triangle BCD}=\frac {1}{2}×5×(3-\frac {1}{2})=\frac {25}{4}.$

3. 如图,直线$y = x + 3$与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线$y = -x^2 + bx + c$经过点A,B,与x轴的另一个交点为C.
(1) 求抛物线对应的函数解析式.
(2) 若P是第二象限内抛物线上一动点,过点P作$PP' // y$轴,交直线AB于点$P'$,求线段$PP'$长的最大值.
(3) 若N是线段AB上一点,连接NC,$\angle BNC = 2\angle BAC$,请求出点N的坐标.

答案：

(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3.
∴B(0,3).令y=0,得0=x+3,解得x=-3.
∴A(-3,0).由题意,得$\begin{cases}-9 - 3b + c = 0\\c = 3\end{cases},$解得$\begin{cases}b = -2\\c = 3\end{cases}.$
∴抛物线对应的函数解析式为y=-x^{2}-2x+3.
(2)设点P的坐标为(p,-p^{2}-2p + 3)(-3 ＜ p ＜ 0).
∴P'(p,p + 3).
∴PP'=-p^{2}-2p + 3-(p + 3)=-p^{2}-3p=-(p+\frac {3}{2})^{2}+\frac {9}{4}.
∵-1 ＜ 0,-3 ＜ p ＜ 0,
∴当p=-\frac {3}{2}时,线段PP'的长有最大值,为\frac {9}{4}.
(3)如图,过点N作x轴的垂线,垂足为H.
∵∠BNC = 2∠BAC,∠BNC = ∠BAC + ∠ACN,
∴∠ACN = ∠BAC.
∴AN = CN.
∵NH⊥AC,
∴AH = CH.
∴H为AC的中点.
∴易得点N在抛物线的对称轴上.由
(1),可知抛物线对应的函数解析式为y=-x^{2}-2x+3.
∴该抛物线的对称轴为直线x=-\frac {-2}{2×(-1)}=-1.
∴点N的横坐标为-1.将x=-1代入y=x+3,得y=-1 + 3 = 2.
∴点N的坐标为(-1,2).