《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

11. 如图,直线$l过A(3,0)和B(0,3)$两点,它与二次函数$y= ax^2的图象在第一象限内交于点P$. 若$\triangle AOP的面积为3$,求该二次函数的解析式.
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答案： 设直线l对应的函数解析式为y = kx + b.
把A(3,0)，B(0,3)代入，得$\begin{cases}3k + b = 0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 3\end{cases}$
∴直线l对应的函数解析式为y = -x + 3.
设P(t, -t + 3)(0＜t＜3).
∵△AOP的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$×3( -t + 3)=3，解得t = 1.
∴点P的坐标为(1,2).
把P(1,2)代入y = ax²，得a = 2.
∴二次函数的解析式为y = 2x².

12. 如图,点$A$,$B在函数y= \frac{1}{4}x^2$的图象上. 已知点$A$,$B的横坐标分别为-2$,$4$,直线$AB与y轴交于点C$,连接$OA$,$OB$.
(1)求直线$AB$对应的函数解析式.
(2)求$\triangle AOB$的面积.
(3)若函数$y= \frac{1}{4}x^2的图象上存在点P$,使$\triangle PAB的面积等于\triangle AOB$的面积的一半,则这样的点$P$共有______个.
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(1)y = $\frac{1}{2}$x + 2
(2)6
(3)4

答案：
(1)
∵点A，B在函数y = $\frac{1}{4}$x²的图象上，点A，B的横坐标分别为−2，4，
∴易得A(−2,1)，B(4,4).
设直线AB对应的函数解析式为y = kx + b.
∴$\begin{cases}-2k + b = 1\\4k + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$
∴直线AB对应的函数解析式为y = $\frac{1}{2}$x + 2.
(2)在y = $\frac{1}{2}$x + 2中，令x = 0，则y = 2，
∴点C的坐标为(0,2).
∴OC = 2.
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}$×2×2 + $\frac{1}{2}$×2×4 = 6.
(3)4.

13. 分类讨论思想 已知函数$y= \begin{cases}x^2(x\leq0)\\x(x＞0)\end{cases} $,若$a\leq x\leq b$,$m\leq y\leq n$,则下列说法中,正确的是(C)
A.当$n-m= 1$时,$b-a$有最小值
B.当$n-m= 1$时,$b-a$无最大值
C.当$b-a= 1$时,$n-m$有最小值
D.当$b-a= 1$时,$n-m$有最大值

答案： C　解析:如图.由图可知，当x≤0时，y随x的增大而减小；当x＞0 时，y随x的增大而增大.当a≤b≤0 时，m = b²，n = a²，此时当n - m = 1 时，a² - b² = 1.
∴(a - b)(a + b)=1.
∴b - a = -$\frac{1}{a + b}$.当a + b的值越小时，b - a越小，无限接近0，但不等于0，即b - a没有最小值.当0＜a≤b 时，m = a，n = b，此时当n - m = 1时，b - a = 1.当a＜0＜b时，m = 0，此时当n - m = 1时，n = 1.当a = -1，b = 1时，b - a的值最大，为1 - (-1)=2.综上所述，当n - m = 1时，b - a有最大值，无最小值.
∴选项A，B错误.当a≤b≤0时，m = b²，n = a²，此时当b - a = 1时，n - m = a² - b²=(a + b)(a - b)=-(a + b).
∴当a + b的值越小时，n - m的值越大，即n - m没有最大值.当0＜a≤b时，m = a，n = b，此时当b - a = 1时，n - m = b - a = 1.当a＜0＜b时，m = 0，此时当b - a = 1时，x = a和x = b的函数值相同时，n - m的值最小.综上所述，当b - a = 1时，n - m有最小值，无最大值.
∴选项C正确，选项D错误.

14. 在平面直角坐标系中,直线$l:y= a(x+2)(a＞0)与x轴交于点A$,与抛物线$y= ax^2交于B$,$C$两点(点$B在点C$的左边).
(1)求点$A$的坐标.
(2)如图,点$B关于x轴的对称点为B'$. 当以$A$,$B'$,$C$为顶点的三角形是直角三角形时,求实数$a$的值.
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答案：
(1)令y = a(x + 2)=0，得x = -2.
∴点A的坐标为(-2,0).
(2)联立$\begin{cases}y = a(x + 2)\\y = ax²\end{cases}$
∴x² - x - 2 = 0.
∴x = -1或x = 2.
∵点B在点C的左边，
∴B(-1,a)，C(2,4a).
∵点B关于x轴的对称点为B'，
∴B'(-1,-a).
∴AB'² = (-2 + 1)²+(0 + a)² = a² + 1，AC² = (2 + 2)²+(4a - 0)² = 16a² + 16，B'C² = (2 + 1)²+(4a + a)² = 25a² + 9.
若∠CAB' = 90°，则AB'² + AC² = B'C²，即a² + 1 + 16a² + 16 = 25a² + 9.
∴a = 1.
若∠AB'C = 90°，则AB'² + B'C² = AC²，即a² + 1 + 25a² + 9 = 16a² + 16，
∴a = $\frac{\sqrt{15}}{5}$.
若∠ACB' = 90°，则AC² + B'C² = AB'²，即16a² + 16 + 25a² + 9 = a² + 1，此方程无解.
综上所述，a = 1或a = $\frac{\sqrt{15}}{5}$.