《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 在方格纸上,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°,得到Rt△A'O'B,则下列图形中,正确的是(B)

答案： B

2. 把如图所示的交通标志图案,绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为$120^\circ$.

答案： $120^\circ$

3. ★在平面直角坐标系中,O为原点,已知点A(4,0),B(0,3),把△ABO绕点B按逆时针方向旋转,得△A'BO',点A,O旋转后的对应点为A',O',记旋转角的度数为$\alpha$.
(1)如图①,若$\alpha=90^\circ$,求AA'的长.
(2)如图②,若$\alpha=120^\circ$,求点O'的坐标.

答案： （1）$\because A(4,0),B(0,3)$，
$\therefore OA=4,OB=3.$
在$Rt\triangle ABO$中，由勾股定理，得
$AB=5.$
$\because \triangle A'BO'$是把$\triangle ABO$绕点$B$按逆时针方向旋转$90^\circ$得到的，
$\therefore \angle A'BA=90^\circ,A'B=AB=5.$
$\therefore AA'=5\sqrt{2}.$
（2）根据题意，可得$\angle O'BO=120^\circ$，
$O'B=OB=3.$
过点$O'$作$O'C\perp y$轴，垂足为$C$，则
$\angle O'CB=90^\circ.$
在$Rt\triangle O'CB$中，$\because \angle O'BC=180^\circ- \angle O'BO=60^\circ$，
$\therefore \angle BO'C=30^\circ.$
$\therefore BC=\frac{1}{2}O'B=\frac{3}{2}.$
由勾股定理，得$O'C=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$
$\therefore OC=OB+BC=\frac{9}{2}.$
$\therefore$点$O'$的坐标为$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{9}{2}\right).$

4. 如图,在△AOB中,OA= AB,$\angle OAB= 120^\circ$,边OA在x轴上,将△AOB绕原点O按逆时针方向旋转120°,得到△A'OB'. 若OB= 4$\sqrt{3}$,则点A的对应点A'的坐标为(B)
A.(-2,2)
B.(-2,2$\sqrt{3}$)
C.(-2,4)
D.(-2,2$\sqrt{5}$)

答案： B

5. 如图,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,-1),B(2,-2),C(4,-1),将△ABC绕着原点O旋转75°,得到$△A_1B_1C_1,$则点$B_1$的坐标为(C)

A.($\sqrt{2}$,$\sqrt{6}$)或(-$\sqrt{6}$,-$\sqrt{2}$)
B.($\sqrt{6}$,$\sqrt{2}$)或(-$\sqrt{6}$,-$\sqrt{2}$)
C.($\sqrt{6}$,$\sqrt{2}$)或(-$\sqrt{2}$,-$\sqrt{6}$)
D.($\sqrt{2}$,$\sqrt{6}$)或(-$\sqrt{2}$,-$\sqrt{6}$)

答案： C

6. 如图,在平面直角坐标系中,已知点P(0,1),A(4,1),以点P为中心,把PA按逆时针方向旋转60°得到PB,在M_1(-1,-$\sqrt{3}$),M_2$(-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$,M_3(1,$\sqrt{3}-1$),M_4(2,2$\sqrt{3}$)四个点中,直线PB经过的点是(B)
$A.M_1$
$B.M_2$
$C.M_3$
$D.M_4$

答案： B 解析：$\because A(4,1),P(0,1)$，
$\therefore PA\perp y$轴，$PA=4.$由旋转，得$\angle APB=60^\circ,AP=PB=4.$过点$B$作$BC\perp y$轴于点$C.\therefore \angle BPC=30^\circ.$
$\therefore BC=2.\therefore PC=2\sqrt{3}.\therefore B(2,1+2\sqrt{3}).$设直线$PB$对应的函数解析式为$y=kx+b$，则$\begin{cases}2k+b=1+2\sqrt{3}, \\b=1,\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}k=\sqrt{3}, \\b=1.\end{cases}\therefore$直线$PB$对应的函数解析式为$y=\sqrt{3}x+1.$当$x=-1$时，$y=-\sqrt{3}+1,\therefore$点$M_1(-1,-\sqrt{3})$不在直线$PB$上.当$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$y=-1+1=0,\therefore$点$M_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},0\right)$在直线$PB$上.当$x=1$时，$y=\sqrt{3}+1$，$\therefore$点$M_3(1,\sqrt{3}-1)$不在直线$PB$上.当$x=2$时，$y=2\sqrt{3}+1,\therefore$点$M_4(2,2\sqrt{3})$不在直线$PB$上.

7. 如图,在平面直角坐标系中,线段OA与x轴正方向的夹角为45°,且OA= 2. 若将线段OA绕点O按逆时针方向旋转105°得到线段OA',则此时点A'的坐标为$(-\sqrt{3},1)$.

答案： $(-\sqrt{3},1)$