《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以$AB为直径的\odot O分别交AC$,$BC于点E$,$D$,连接$ED$,$BE$.
(1)求证：$\overset{\frown}{DE}= \overset{\frown}{BD}$.
(2)若$BC= 6$,$AB= 5$,求$BE$的长.

答案： （1）连接 AD.
∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ AD⊥BC.
∵ AB=AC，
∴ BD=CD，∠EAD=∠BAD.
∴ $\widehat{DE}=\widehat{BD}$.
（2）连接 OD 交 BE 于点 H，过点 O 作 OF⊥BD 于点 F.
∵ BD=$\frac{1}{2}$BC=3，AB=5，
∴ AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}$=4.
∵ AD⊥BC，OF⊥BD，
∴ OF//AD.又
∵ OA=OB，
∴ OF=$\frac{1}{2}$AD=2.
∵ $\widehat{DE}=\widehat{BD}$，
∴ OD⊥BE，BE=2BH.
∵ $S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}OD·BH=\frac{1}{2}BD·OF$，
∴ $\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$BH=$\frac{1}{2}$×3×2，解得 BH=$\frac{12}{5}$.
∴ BE=2BH=$\frac{24}{5}$.

10. 如图,以$AB为直径的\odot O经过\triangle ABC的顶点C$,$AE$,$BE分别平分\angle BAC和\angle ABC$,$AE的延长线交\odot O于点D$,连接$BD$,$CD$.
答案讲解
(1)求证：$DB= DE$.
(2)若$AB= 2\sqrt{5}$,$BE= 2\sqrt{2}$,求$BC$的长.

答案： （1）由圆周角定理，可得∠CAD=∠CBD.
∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴ ∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠CBE.
∵ ∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠CBE，
∴ ∠BED=∠DBE.
∴ DB=DE.
（2）连接 OC，OD，OD 交 BC 于点 F.由圆周角定理，得∠BAD=∠BCD.由（1），可知∠BAD=∠CAD=∠CBD.
∴ ∠CBD=∠BCD.
∴ BD=DC.
∵ OB=OC，
∴ OD 垂直平分 BC.
∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ ∠ADB=90°.又
∵ BD=ED，
∴ △BDE 是等腰直角三角形.
∵ BE=2$\sqrt{2}$，$BE^2=BD^2+ED^2=2BD^2$，
∴ BD=2.
∵ AB=2$\sqrt{5}$，
∴ OB=OD=$\sqrt{5}$.设 OF=t，则 DF=$\sqrt{5}$-t.在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，$OB^2-OF^2=BD^2-DF^2=BF^2$，即$(\sqrt{5})^2-t^2=2^2-(\sqrt{5}-t)^2$，解得 t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
∴ OF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
∴ BF=$\sqrt{(\sqrt{5})^2-(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
∴ BC=2BF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$.

11. 如图,四边形$ABCD内接于半径为5的\odot O$,$AB= BC= BE$,$AB\perp BE$,则$AD$的长为(B)
A.$5$
B.$5\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$10$

答案： B 解析：连接 BD，OA，OD.
∵ AB=BC，
∴ $\widehat{AB}=\widehat{BC}$.
∴ ∠BDA=∠BDC.
∵ 四边形 ABCD 内接于半径为 5 的⊙O，
∴ ∠BAD+∠C=180°.
∵ BC=BE，
∴ ∠BEC=∠C.
∵ ∠BEC+∠BED=180°，
∴ ∠BAD=∠BED.在△BAD 和△BED 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠BDA=∠BDE,\\ ∠BAD=∠BED,\\ BA=BE,\end{array}\right.$
∴ △BAD≌△BED.
∴ ∠ABD=∠EBD.
∵ AB⊥BE，
∴ ∠ABD=45°.
∴ ∠AOD=90°.在 Rt△AOD 中，
∵ OA=OD=5，
∴ AD=5$\sqrt{2}$.

12. 如图,圆内接四边形$ABCD的对角线AC$,$BD交于点E$,$BD平分\angle ABC$,$\angle BAC= \angle ADB$.
答案讲解
(1)求证：$DB平分\angle ADC$. 求$\angle BAD$的度数.
(2)过点$C作CF// AD$,交$AB的延长线于点F$.若$AC= AD$,$BF= 2$,求圆的半径.

答案： （1）
∵ ∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，
∴ ∠ADB=∠CDB.
∴ DB 平分∠ADC.
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴ ∠ABC+∠ADC=180°.
∴ ∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°.
∴ 2(∠ABD+∠ADB)=180°.
∴ ∠ABD+∠ADB=90°.
∴ ∠BAD=180°-90°=90°.
（2）由（1），可知∠BAD=90°.
∴ ∠BAE+∠DAE=90°.
∵ ∠BAE=∠ADE，
∴ ∠ADE+∠DAE=90°.
∴ ∠AED=90°.
∵ ∠BAD=90°，
∴ BD 是圆的直径.
∴ BD 垂直平分 AC.
∴ AD=CD.
∵ AC=AD，
∴ AC=AD=CD，即△ACD 是等边三角形.
∴ ∠ADC=60°.
∴ ∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°.
∵ CF//AD，
∴ ∠F+∠BAD=180°.
∴ ∠F=90°.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴ ∠ADC+∠ABC=180°.
∵ ∠FBC+∠ABC=180°，
∴ ∠FBC=∠ADC=60°.
∴ ∠BCF=30°.
∴ BC=2BF=4.
∵ BD 是圆的直径，
∴ ∠BCD=90°.
∵ ∠BDC=30°，
∴ BD=2BC=8.
∵ BD 是圆的直径，
∴ 圆的半径是 4.