《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

典例2 如图,二次函数$y= -x^2 + bx + c的图象经过点A(4,1)$,$B(0,5)$。

(1)求该二次函数的解析式,并求出图象的对称轴和顶点坐标。
(2)点$C(m,n)$在该二次函数的图象上,当$m ≤ x ≤ 4$时,$n的最大值为\frac{29}{4}$,最小值为1,请根据图象直接写出$m$的取值范围。

答案：
(1)将A(4,1),B(0,5)分别代入y=-x²+bx+c,得{-16+4b+c=1,c=5,解得{b=3,c=5.
∴该二次函数的解析式为y=-x²+3x+5.
∵y=-x²+3x+5=-(x-3/2)²+29/4,
∴图象的对称轴是直线x=3/2,顶点坐标为(3/2,29/4).
(2)-1≤m≤3/2.

[变式] 已知二次函数$y= ax^2 + bx + c$($a≠0$)的图象经过点$A(1,0)$。
(1)当$b= 2$,$c= -3$时,求二次函数的解析式及二次函数的最小值。
(2)二次函数的图象经过点$B(m,e)$,$C(3 - m,e)$。
① 求该二次函数图象的对称轴。
② 若对任意实数$x$,函数值$y都不小于\frac{1}{4a} - \frac{1}{2}$,求此时二次函数的解析式。

答案：
(1)将b=2,c=-3代入y=ax²+bx+c,得y=ax²+2x-3.将A(1,0)代入,得a+2-3=0,解得a=1.
∴y=x²+2x-3=(x+1)²-4.
∴当x=-1时,y有最小值,为-4.
(2)①由题意,可知对称轴为直线x=(m+3-m)/2=3/2. ②
∵-b/(2a)=3/2,
∴b=-3a.又
∵图象过点A(1,0),
∴a+b+c=0.
∴c=2a.
∴y=ax²-3ax+2a.
∴顶点的纵坐标为(4ac-b²)/(4a)=-a²/(4a).
∵函数值y不小于1/(4a)-1/2,
∴a＞0,且-a²/(4a)≥1/(4a)-1/2.
∴a²-2a+1≤0.
∴(a-1)²≤0.
∵(a-1)²≥0,
∴a-1=0.
∴a=1.
∴二次函数的解析式为y=x²-3x+2.