《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

7. 某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形,设小正方形的边长为 m,直角三角形较短直角边的长为 n,且 n= 2m-4,大正方形的面积为 S.
(1)求 S 关于 m 的函数解析式.
(2)若小正方形的边长不大于 3,求出当大正方形的面积最大时 m 的值.

答案： （1）
∵小正方形的边长为 m，直角三角形较短直角边的长为 n，
∴直角三角形较长直角边的长为 m+n.
∴由勾股定理，得 S=(m+n)²+n².
∵n=2m-4，
∴S=(m+2m-4)²+(2m-4)²=13m²-40m+32.
∵n=2m-4＞0，
∴m＞2.
∴S 关于 m 的函数解析式为 S=13m²-40m+32(m＞2).
（2）
∵$S=13m^{2}-40m+32=13(m-\frac{20}{13})^{2}+\frac{16}{13}(2＜m\leq3)$，
∴当 m≥$\frac{20}{13}$时，S 随 m 的增大而增大.
∴当大正方形的面积最大时，m=3.

8. 将一副三角尺(△ABC 与△DEF)按如图所示的方式放置,点 D 在边 AB 上滑动,DE 交 AC 于点 G,DF 交 BC 于点 H,且在滑动过程中始终保持 DG= DH.若 AC= 2,则△BDH 面积的最大值是 (C)
A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

答案： C 解析：过点 H 作 HM⊥AB 于点 M.
∵AC=2，∠B=30°，
∴易得 AB=2$\sqrt{3}$.
∵∠EDF=90°，
∴∠ADG+∠MDH=90°.
∵∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠MDH.
∵DG=HD，∠A=∠DMH=90°，
∴△ADG≌△MHD.
∴AD=MH. 设 AD=x，则 BD=2$\sqrt{3}$-x.
∴$S_{\triangle BDH}=\frac{1}{2}MH\cdot BD=\frac{1}{2}AD\cdot BD=\frac{1}{2}x(2\sqrt{3}-x)=-\frac{1}{2}(x-\sqrt{3})^{2}+\frac{3}{2}$.
∴△BDH 面积的最大值是$\frac{3}{2}$.

9. 分类讨论思想 如图,把一张长为 10 cm,宽为 8 cm 的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形,再折成一个无盖长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)如果长方体盒子的底面积为$ 48 cm^2,$那么剪去的正方形的边长为1 cm.
(2)长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有,请求出最大面积和此时剪去的正方形的边长；如果没有,请说明理由.
有. 设剪去的正方形的边长为 x cm，盒子的侧面积为 y cm².
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=2(10-2x)x+2(8-2x)x=-8x²+36x=$-8(x-\frac{9}{4})^{2}+\frac{81}{2}(0＜x＜4)$.
∴当 x=$\frac{9}{4}$时，y 有最大值，为$\frac{81}{2}$.
∴当剪去的正方形的边长为$\frac{9}{4}$cm 时，长方体盒子的侧面积最大，最大面积为$\frac{81}{2}cm^{2}$.
(3)若把矩形硬纸板的四角剪去 4 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大小的矩形,然后折成一个有盖长方体盒子,则侧面积是否有最大值？如果有,请求出最大面积和此时剪去的正方形的边长；如果没有,请说明理由.
有. 设剪去的正方形的边长为 x cm，盒子的侧面积为 y cm². 若按如图①所示的方法剪折，则 y 与 x 之间的函数解析式为$y=2(8-2x)x+2\cdot\frac{10-2x}{2}\cdot x=-6x^{2}+26x=-6(x-\frac{13}{6})^{2}+\frac{169}{6}$.
∴当 x=$\frac{13}{6}$时，y 有最大值，为$\frac{169}{6}$. 若按如图②所示的方法剪折，则 y 与 x 之间的函数解析式为$y=2(10-2x)x+2\cdot\frac{8-2x}{2}\cdot x=-6x^{2}+28x=-6(x-\frac{7}{3})^{2}+\frac{98}{3}$.
∴当 x=$\frac{7}{3}$时，y 有最大值，为$\frac{98}{3}$.
∵$\frac{169}{6}＜\frac{98}{3}$，
∴按如图②所示的方法剪折得到的盒子的侧面积最大.
∴当剪去的正方形的边长为$\frac{7}{3}$cm 时，有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为$\frac{98}{3}cm^{2}$.

答案： （1）1 cm.
（2）有. 设剪去的正方形的边长为 x cm，盒子的侧面积为 y cm².
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=2(10-2x)x+2(8-2x)x=-8x²+36x=$-8(x-\frac{9}{4})^{2}+\frac{81}{2}(0＜x＜4)$.
∴当 x=$\frac{9}{4}$时，y 有最大值，为$\frac{81}{2}$.
∴当剪去的正方形的边长为$\frac{9}{4}$cm 时，长方体盒子的侧面积最大，最大面积为$\frac{81}{2}cm^{2}$.
（3）有. 设剪去的正方形的边长为 x cm，盒子的侧面积为 y cm². 若按如图①所示的方法剪折，则 y 与 x 之间的函数解析式为$y=2(8-2x)x+2\cdot\frac{10-2x}{2}\cdot x=-6x^{2}+26x=-6(x-\frac{13}{6})^{2}+\frac{169}{6}$.
∴当 x=$\frac{13}{6}$时，y 有最大值，为$\frac{169}{6}$. 若按如图②所示的方法剪折，则 y 与 x 之间的函数解析式为$y=2(10-2x)x+2\cdot\frac{8-2x}{2}\cdot x=-6x^{2}+28x=-6(x-\frac{7}{3})^{2}+\frac{98}{3}$.
∴当 x=$\frac{7}{3}$时，y 有最大值，为$\frac{98}{3}$.
∵$\frac{169}{6}＜\frac{98}{3}$，
∴按如图②所示的方法剪折得到的盒子的侧面积最大.
∴当剪去的正方形的边长为$\frac{7}{3}$cm 时，有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为$\frac{98}{3}cm^{2}$.