《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 在同一平面直角坐标系中,二次函数$y= ax^2+bx+a(a≠0)与一次函数y= bx+a$的图象可能是(A)

A.
B.
C.
D.

答案： A

2. 若二次函数$y= ax^2(a≠0)和一次函数y= bx+c(b≠0)$的图象如图所示,则函数$y= ax^2+bx-c$的图象可能是(D)


A.
B.
C.
D.

答案： D

3. (2024·眉山)如图,二次函数$y= ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交于点$A(3,0)$,与y轴交于点B,对称轴为直线$x= 1$.有下列结论：①$bc＜0$；②$3a+2c＜0$；③$ax^2+bx≥a+b$；④若$-2＜c＜-1$,则$-\frac{8}{3}＜a+b+c＜-\frac{4}{3}$.其中,正确的个数为(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

4. (2024·绥化)二次函数$y= ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示,对称轴为直线$x= -1$.有下列结论：①$\frac{b}{c}＞0$；②$am^2+bm≤a-b$(m为任意实数)；③$3a+c＜1$；④若$M(x_1,y)$,$N(x_2,y)$是抛物线上不同的两个点,则$x_1+x_2≤-3$.其中,正确的个数为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

5. 如图,二次函数$y= ax^2+bx+c$的图象与x轴交于$A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D.有下列结论：①$2a+b= 0$；②$2c＞3b$；③当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时,$a= -\frac{\sqrt{2}}{2}$.其中,正确的有______(填序号).

①③

答案： ①③ 解析：
∵ 二次函数 $ y=ax^{2}+bx+c $ 的图象与 x 轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴ 图象的对称轴为直线 $ x=-\frac{b}{2a}=1 $.
∴ $ b=-2a $.
∴ $ 2a+b=0 $.故①正确.当x=-1时,0=a-b+c,
∴ $ a+2a+c=0 $.
∴ $ c=-3a $.
∴ $ 2c=3b $.故②错误.在 $ y=ax^{2}-2ax-3a(a＜0) $ 中,令x=0,则 $ y=-3a $.
∴ C(0,-3a).当AB=BC时,易得 $ 4=\sqrt{9+9a^{2}} $,
∴ $ a=-\frac{\sqrt{7}}{3} $.当AB=AC时,易得 $ 4=\sqrt{1+9a^{2}} $,
∴ $ a=-\frac{\sqrt{15}}{3} $.
∴ 当△ABC是等腰三角形时,a的值有2个.故③正确.
∵ $ y=ax^{2}-2ax-3a=a(x-1)^{2}-4a $,
∴ D(1,-4a).
∴ $ BD^{2}=4+16a^{2} $,$ BC^{2}=9+9a^{2} $,$ CD^{2}=a^{2}+1 $.若∠BDC=90°,可得 $ BC^{2}=BD^{2}+CD^{2} $.
∴ $ 9+9a^{2}=4+16a^{2}+a^{2}+1 $.
∴ $ a=-\frac{\sqrt{2}}{2} $.若∠DCB=90°,可得 $ BD^{2}=BC^{2}+CD^{2} $.
∴ $ 4+16a^{2}=9+9a^{2}+a^{2}+1 $.
∴ $ a=-1 $.
∴ 当△BCD是直角三角形时,$ a=-1 $ 或 $ a=-\frac{\sqrt{2}}{2} $.故④错误.综上所述,正确的有①③.