《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 如图,等边三角形 ABC 内有一点 P,连接 AP,BP,CP. 若∠BPC= 150°,BP= 3,AP= 5,则 CP= 4.

答案： 4

2. 如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB= 90°,∠APC= 165°,PA= 3,PC= $\sqrt{2}$,则 PB= ______$\sqrt{19}$.

答案： $\sqrt{19}$

3. 如图,P 是正方形 ABCD 内一点,且 PA= $2\sqrt{3}$,PB= $\sqrt{2}$,PC= 4,则正方形 ABCD 的面积是______. 答案讲解

答案：
$14 + 4\sqrt{3}$ 解析:如图,将$\triangle ABP$绕点B按顺时针方向旋转$90^{\circ}$,得到$\triangle CBP'$,连接$PP'$,过点A作$AH\perp BP$,交BP的延长线于点H,则$\angle PBP'=90^{\circ}$,$\angle APB=\angle BP'C$,$P'B=PB=\sqrt{2}$,$P'C=PA=2\sqrt{3}$.由勾股定理,得$PP'^2=2 + 2=4$.$\because P'C^2=(2\sqrt{3})^2=12$,$PC^2=4^2=16$,$\therefore PC^2=PP'^2 + P'C^2$.$\therefore \angle PP'C=90^{\circ}$.又$\because$易得$\angle BP'P=45^{\circ}$,$\therefore \angle BP'C=135^{\circ}$.$\therefore \angle APB=\angle BP'C=135^{\circ}$.$\therefore \angle APH=45^{\circ}$.$\therefore \angle APH=\angle PAH=45^{\circ}$.$\therefore$易得$AH=PH=\frac{\sqrt{2}}{2}PA=\sqrt{6}$.$\therefore AB^2=AH^2 + BH^2=6 + (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=14 + 4\sqrt{3}$.$\therefore$正方形ABCD的面积为$14 + 4\sqrt{3}$.

4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 2,∠ABC= 30°,O 为 Rt△ABC 内一点,连接 OA,OB,OC,则 OA+OB+OC 的最小值为______. 答案讲解

答案：
$2\sqrt{7}$ 解析:如图,将$\triangle AOB$绕点B按顺时针方向旋转$60^{\circ}$至$\triangle A'O'B$处,连接$OO'$,$A'C$.$\because$在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=2$,$\angle ABC=30^{\circ}$,$\therefore AB=4$.$\therefore BC=2\sqrt{3}$.由旋转,得$A'B=AB=4$,$OB=O'B$,$O'A'=OA$.$\because$将$\triangle AOB$绕点B按顺时针方向旋转$60^{\circ}$,$\therefore \angle A'BC=\angle ABC + 60^{\circ}=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$,$\angle OBO'=60^{\circ}$.$\therefore \triangle OBO'$为等边三角形.$\therefore OO'=OB$.易得当C,O,$A'$,$O'$四点共线时,$OA + OB + OC$的值最小,为$A'C$的长,$\therefore A'C=\sqrt{BC^2 + BA'^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4^2}=2\sqrt{7}$.$\therefore OA + OB + OC$的最小值为$2\sqrt{7}$.

5. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 30°,AB= AC,P 是△ABC 内一点,且 PA= 2,PB= $\sqrt{21}$,PC= 3,求∠APC 的度数. 答案讲解

答案：
$\because AB=AC$,$\angle ACB=30^{\circ}$,$\therefore \angle BAC=120^{\circ}$.如图,将$\triangle ABP$绕点A按逆时针方向旋转$120^{\circ}$得到$\triangle ACQ$,连接PQ,过点A作$AD\perp PQ$,垂足为D.由旋转,得$PB=CQ=\sqrt{21}$,$\angle BAC=\angle PAQ=120^{\circ}$,$PA=AQ=2$.$\therefore \angle APQ=\angle AQP=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle PAQ)=30^{\circ}$,$PQ=2DQ$.在$Rt\triangle ADQ$中,$AQ=2$,$\therefore AD=\frac{1}{2}AQ=1$.$\therefore DQ=\sqrt{3}$.$\therefore PQ=2DQ=2\sqrt{3}$.$\because PQ^2 + PC^2=(2\sqrt{3})^2 + 3^2=21$,$CQ^2=(\sqrt{21})^2=21$,$\therefore PQ^2 + PC^2=CQ^2$.$\therefore \triangle PCQ$是直角三角形,且$\angle QPC=90^{\circ}$.$\therefore \angle APC=\angle APQ + \angle QPC=30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ}$.

6. 分类讨论思想 (2024·盐城)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= BC= $2\sqrt{2}$,D 是 AC 的中点,连接 BD.
(1)求 BD 的长.
(2)将△BCD 绕点 B 旋转,得到△BEF,连接 CF. 当 CF//AB 时,求 CF 的长. 答案讲解

答案：
(1)$\because BC=2\sqrt{2}$,$CD=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\therefore BD=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{10}$.
(2)由题意,得$\triangle BCD\cong\triangle BEF$.$\therefore BD=BF=\sqrt{10}$.当点F在点C的右侧时,过点B作$BG\perp CF$于点G.由
(1),得$\angle A=\angle ABC=45^{\circ}$.$\because CF// AB$,$\therefore \angle GCB=\angle ABC=45^{\circ}$.$\because CG^2 + BG^2=BC^2$,$\therefore 2CG^2=(2\sqrt{2})^2$.$\therefore CG=2$.在$Rt\triangle BGF$中,$BF=BD=\sqrt{10}$,$BG=2$,$\therefore GF=\sqrt{(\sqrt{10})^2 - 2^2}=\sqrt{6}$.$\therefore CF=CG + GF=2 + \sqrt{6}$.当点F在点C的左侧时,过点B作$BG\perp CF$,交FC的延长线于点G.同理,可得$GF=\sqrt{6}$,$CG=2$.$\therefore CF=\sqrt{6}-2$.综上所述,CF的长为$2 + \sqrt{6}$或$\sqrt{6}-2$.

7. 如图,P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点,且∠MPN 与∠AOB 互补. ∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中,其两边分别与 OA,OB 相交于 M,N 两点. 有下列结论：① PM= PN 恒成立；② OM - ON 的值不变；③ △OMN 的周长不变；④ 四边形 PMON 的面积不变. 其中,正确的为①④(填序号).

答案： $①④ $解析$:$过点$P$作$PE\perp OA$于点$E,PF\perp OB$于点$F.\because \angle PEO=\angle PFO=90^{\circ},\therefore \angle EPF + \angle AOB=180^{\circ}.\because \angle MPN + \angle AOB=180^{\circ},\therefore \angle EPF=\angle MPN.\therefore \angle EPM=\angle FPN.\because OP$平分$\angle AOB,PE\perp OA,PF\perp OB,\therefore PE=PF.$在$Rt\triangle POE$和$Rt\triangle POF$中$,\begin{cases} OP=OP, \\ PE=PF, \end{cases}.\therefore OE=OF.$在$\triangle PEM$和$\triangle PFN$中$,\begin{cases} \angle EPM=\angle FPN, \\ PE=PF, \\ \angle PEM=\angle PFN, \end{cases}\therefore \triangle PEM\cong\triangle PFN.\therefore EM=FN,PM=PN.$故$①$正确$.\because \triangle PEM\cong\triangle PFN,\therefore S_{\triangle PEM}=S_{\triangle PFN},\therefore S_{四边形PMON}=S_{四边形PEOF}=$定值$.$故$④$正确$.\because OM - ON=OE + EM-(OF - FN)=2EM,EM$的长不是定值$,\therefore OM - ON$的值不是定值$.$故$②$错误$.\because OM + ON=OE + ME + OF - NF=2OE=$定值$,\therefore \triangle OMN$的周长$=2OE + MN.$在旋转过程中$,\triangle PMN$是等腰三角形$,\because PM$的长是变化的$,\therefore MN$的长是变化的$.\therefore \triangle OMN$的周长是变化的$.$故$③$错误$.$综上所述$,$正确的为$①④.$