《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

10. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 $y= x^{2}-2(k-1)x+k^{2}-\frac{5}{2}k$($k$ 为常数).
(1)若抛物线经过点 $(1,k^{2})$,求 $k$ 的值.
(2)若抛物线经过点 $(2k,y_{1})$,$(2,y_{2})$,且 $y_{1}＞y_{2}$,求 $k$ 的取值范围.
(3)若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线,当 $1\leqslant x\leqslant2$ 时,新抛物线对应的函数有最小值 $-\frac{3}{2}$,求 $k$ 的值.

答案： （1）把 $ (1,k^{2}) $ 代入 $ y=x^{2}-2(k-1)x+k^{2}-\frac{5}{2}k $,得 $ k^{2}=1^{2}-2(k-1)+k^{2}-\frac{5}{2}k $,解得 $ k=\frac{2}{3} $.
（2）把 $ (2k,y_{1}) $ 代入 $ y=x^{2}-2(k-1)x+k^{2}-\frac{5}{2}k $,得 $ y_{1}=(2k)^{2}-2(k-1) × 2k+k^{2}-\frac{5}{2}k=k^{2}+\frac{3}{2}k $.把 $ (2,y_{2}) $ 代入 $ y=x^{2}-2(k-1)x+k^{2}-\frac{5}{2}k $,得 $ y_{2}=2^{2}-2(k-1) × 2+k^{2}-\frac{5}{2}k=k^{2}-\frac{13}{2}k+8 $.$ \because y_{1} ＞ y_{2} $,$ \therefore k^{2}+\frac{3}{2}k ＞ k^{2}-\frac{13}{2}k+8 $,解得 $ k ＞ 1 $.
（3）$ \because y=x^{2}-2(k-1)x+k^{2}-\frac{5}{2}k=(x-k+1)^{2}+(-\frac{1}{2}k-1) $,$ \therefore $ 将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线对应的函数解析式为 $ y=(x-k)^{2}+(-\frac{1}{2}k-1) $.当 $ k ＜ 1 $ 时,$ 1 \leq x \leq 2 $ 对应的抛物线部分位于对称轴右侧,y 随 x 的增大而增大,$ \therefore $ 当 $ x=1 $ 时,$ y_{最小}=(1-k)^{2}-\frac{1}{2}k-1=k^{2}-\frac{5}{2}k $.$ \therefore k^{2}-\frac{5}{2}k=-\frac{3}{2} $,解得 $ k_{1}=1 $,$ k_{2}=\frac{3}{2} $,都不合题意,舍去.当 $ 1 \leq k \leq 2 $ 时,$ y_{最小}=-\frac{1}{2}k-1 $.$ \therefore -\frac{1}{2}k-1=-\frac{3}{2} $,解得 $ k=1 $.当 $ k ＞ 2 $ 时,$ 1 \leq x \leq 2 $ 对应的抛物线部分位于对称轴左侧,y 随 x 的增大而减小,$ \therefore $ 当 $ x=2 $ 时,$ y_{最小}=(2-k)^{2}-\frac{1}{2}k-1=k^{2}-\frac{9}{2}k+3 $.$ \therefore k^{2}-\frac{9}{2}k+3=-\frac{3}{2} $,解得 $ k_{1}=3 $,$ k_{2}=\frac{3}{2} $(不合题意,舍去).综上所述,$ k=1 $ 或 $ k=3 $.

11. (2024·湖南)已知二次函数 $y= -x^{2}+c$ 的图象经过点 $A(-2,5)$,且 $P(x_{1},y_{1})$,$Q(x_{2},y_{2})$ 是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)如图①,此二次函数的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点 $B$,点 $P$ 在直线 $AB$ 的上方,过点 $P$ 作 $PC\perp x$ 轴于点 $C$,交 $AB$ 于点 $D$,连接 $AC$,$DQ$,$PQ$. 若 $x_{2}= x_{1}+3$,求证：$\frac{S_{\triangle PDQ}}{S_{\triangle ADC}}$ 的值为定值.
(3)如图②,点 $P$ 在第二象限,$x_{2}= -2x_{1}$,点 $M$ 在直线 $PQ$ 上,且横坐标为 $x_{1}-1$,过点 $M$ 作 $MN\perp x$ 轴于点 $N$,求线段 $MN$ 长的最大值.

答案： （1）将 $ A(-2,5) $ 代入 $ y=-x^{2}+c $,得 $ 5=-4+c $,解得 $ c=9 $.$ \therefore $ 此二次函数的解析式为 $ y=-x^{2}+9 $.
（2）在 $ y=-x^{2}+9 $ 中,令 $ y=0 $,得 $ x=\pm 3 $,$ \therefore B(3,0) $.由 $ A(-2,5) $,$ B(3,0) $,易得直线 AB 对应的函数解析式为 $ y=-x+3 $.由题意可知,$ P(x_{1},-x_{1}^{2}+9) $,$ Q(x_{2},-x_{2}^{2}+9) $,则 $ D(x_{1},-x_{1}+3) $,其中 $ x_{2}=x_{1}+3 $.$ \therefore S_{\triangle PDQ}=\frac{1}{2}PD \cdot (x_{Q}-x_{P})=\frac{1}{2}(-x_{1}^{2}+9+x_{1}-3)(x_{2}-x_{1})=\frac{3}{2}(-x_{1}^{2}+x_{1}+6) $,$ S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}CD \cdot (x_{D}-x_{A})=\frac{1}{2}(-x_{1}+3)(x_{1}+2)=\frac{1}{2}(-x_{1}^{2}+x_{1}+6) $.$ \therefore \frac{S_{\triangle PDQ}}{S_{\triangle ADC}}=3 $,为定值.
（3）由题意可知,$ P(x_{1},-x_{1}^{2}+9) $,$ Q(-2x_{1},-4x_{1}^{2}+9) $.$ \therefore $ 易得直线 PQ 对应的函数解析式为 $ y=x_{1}x-2x_{1}^{2}+9 $.$ \therefore MN=y_{M}=(x_{1}-1)x_{1}-2x_{1}^{2}+9=-x_{1}^{2}-x_{1}+9=-(x_{1}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{37}{4} \leq \frac{37}{4} $.$ \therefore $ 线段 MN 长的最大值为 $ \frac{37}{4} $.