《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

3. (2024·龙东地区)若关于x的一元二次方程$(m - 2)x^2 + 4x + 2 = 0$有两个实数根,则m的取值范围是(D)
A.$m \leq 4$
B.$m \geq 4$
C.$m \geq -4且m \neq 2$
D.$m \leq 4且m \neq 2$

答案： D 解析:根据题意,得
$\left\{\begin{array}{l} 16-4(m-2)×2≥0,\\ m-2≠0.\end{array}\right. $解得$m≤4$且$m≠2.$

4. (2024·乐山)若关于x的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0两根为x_1,x_2$,且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$,则p的值为(A)
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.-6
D.6

答案： A 解析:
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+p=0$两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_{1}+x_{2}=-2,x_{1}x_{2}=p.\because \frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=3,\therefore \frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=3$,即$\frac {-2}{p}=3.$
$\therefore p=-\frac {2}{3}.$

5. 已知a是$x^2 + x - 2 = 0$的根,则代数式$(a^2 + a)(a - \frac{2}{a} + 3)$的值为4.

答案： 4

6. 若方程$x^2 - 2x - 4 = 0的两个实数根为\alpha,\beta$,则$\alpha^3 + 8\beta + 1$的值为25.

答案： 25 解析:根据题意,得$α+β=2,$
$α^{2}=2α+4.\therefore α^{3}+8β+1=α\cdot α^{2}+8β+1=α(2α+4)+8β+1=2α^{2}+4α+8β+1=4α+8+4α+8β+1=8(α+β)+9=16+9=25.$

7. 社区利用一块矩形空地ABCD建了一个如图所示的小型停车场(单位：m).已知AD= 52m,AB= 28m,涂色部分设计为停车位,且要铺花砖,其余部分均是宽为x m的道路.已知铺花砖的面积为$640m^2.$
(1)求道路的宽.
(2)该停车场共有50个车位,据调查分析,当每个车位的月租金为200元时,可全部租出.每个车位的月租金每上涨5元,就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时,停车场的月租金收入为10125元？

答案：
(1)
∵道路的宽为x m,
$\therefore (52-2x)(28-2x)=640.$
整理,得$x^{2}-40x+204=0$,解得$x_{1}=34$(不合题意,舍去),$x_{2}=6.$
∴道路的宽为6 m.
(2)设当每个车位的月租金上涨a元时,停车场的月租金收入为10125元.
根据题意,得$(200+a)(50-\frac {a}{5})=10125.$
整理,得$a^{2}-50a+625=0$,解得$a_{1}=a_{2}=25.$
∴当每个车位的月租金上涨25元时,停车场的月租金收入为10125元.

8. 随着威海暑期旅游旺季的到来,某店铺购进了一批旅游纪念品,“贝壳画”和“纪念瓷盘”的进货价和销售价如下表：
| 纪念品 | 贝壳画 | 纪念瓷盘 |
| 进货价/(元/个) | 59 | 66 |
| 销售价/(元/个) | 79 | 88 |

(1)该店铺购进“贝壳画”和“纪念瓷盘”共80个,且进货总价不高于4900元.若进货后能全部售出,则分别购进“贝壳画”和“纪念瓷盘”多少个,才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
(2)该店铺打算把“贝壳画”调价销售,如果按照原价销售,那么平均每天可售出8个,经调查后发现,“贝壳画”每个每降价1元,平均每天可多售出2个.当销售价定为每个多少元时,能使“贝壳画”平均每天的销售利润为288元？

答案：
(1)设购进x个"贝壳画"，则购进$(80-x)$个"纪念瓷盘".
依题意,得$59x+66(80-x)≤4900,$
解得$x≥54\frac {2}{7}$(x为整数).
设全部售出后获得的总利润为w元,
则$w=(79-59)x+(88-66)(80-x)=-2x+1760.$
$\because -2＜0,$
∴w随x的增大而减小.
∵x为整数,
∴当$x=55$时,w取得最大值,最大值为$-2×55+1760=1650$,此时$80-x=80-55=25.$
∴分别购进"贝壳画"和"纪念瓷盘"55个和25个,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1650元.
(2)设"贝壳画"每个降价m元,则销售价定为每个$(79-m)$元,每个的销售利润为$(79-m-59)$元,平均每天可售出$(8+2m)$个.
根据题意,得$(79-m-59)(8+2m)=288.$
整理,得$m^{2}-16m+64=0$,解得$m_{1}=m_{2}=8.$
$\therefore 79-m=79-8=71.$
∴当销售价定为每个71元时,能使"贝壳画"平均每天的销售利润为288元.