《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

7. 某商贸公司购进某种商品,经过市场调研,整理出这种商品在第x(1≤x≤48)天的售价与日销售量之间的关系如下表：
|时间x/天|1≤x＜30|30≤x≤48|
|售价/(元/千克)|x+30|60|
|日销售量/千克| -2x+120 |

已知这种商品的进价为20元/千克,设销售这种商品的日销售利润为y元.
(1)求y与x的函数解析式.
(2)第几天的销售利润最大？最大为多少？
(3)公司在销售的前28天中,每销售1千克这种商品就捐赠n元(n＜9)给“希望工程”.若扣除捐赠后的日销售利润随x的增大而增大,求n的取值范围.

答案： （1）当1≤x＜30时，y=(x+30-20)(-2x+120)=-2x²+100x+1 200；当30≤x≤48时，y=(60-20)×(-2x+120)=-80x+4 800.
∴y={-2x²+100x+1200(1≤x＜30),-80x+4800(30≤x≤48).
（2）当1≤x＜30时，y=-2x²+100x+1 200=-2(x-25)²+2 450.
∴当x=25时，y max=2 450.当30≤x≤48时，
∵k=-80＜0，
∴y随x的增大而减小.
∴当x=30时，y max=-80×30+4 800=2 400.
∵2 450＞2 400，
∴第25天的销售利润最大，最大为2 450元.
（3）设扣除捐赠后的日销售利润为w元.
∴w=-2x²+100x+1 200-(-2x+120)·n=-2x²+(100+2n)x+(1 200-120n).
∴图象的对称轴为直线x=100+2n2×(-2)=50+n2.
∵w随x的增大而增大，x为整数，
∴50+n2＞27.5,解得n＞5.
∴n的取值范围是5＜n＜9.

8. 某菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如下信息：
① 统计售价与需求量的数据,通过描点发现,这种蔬菜的需求量$ y_{需求} $(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象如图①所示,其对应的函数解析式为$ y_{需求}= ax^{2}+c $.
② 这种蔬菜的供给量$ y_{供给} $(吨)关于售价x(元/千克)的函数解析式为$ y_{供给}= x-1 $,函数图象如图①所示.
③ 1～7月这种蔬菜的售价$ x_{售价} $(元/千克)、成本$ x_{成本} $(元/千克)关于月份t的函数解析式分别为$ x_{售价}= \frac{1}{2}t + 2 $,$ x_{成本}= \frac{1}{4}t^{2}-\frac{3}{2}t + 3 $,函数图象如图②所示.
(1)求a,c的值.
(2)根据图②,试确定哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大,并说明理由.
(3)求这种蔬菜的供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.

答案： （1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求=ax²+c，得{9a+c=7.2,16a+c=5.8,解得{a=-15,c=9.
（2）4月出售这种蔬菜每千克获利最大.理由：设每月出售这种蔬菜每千克获利w元.根据题意，得w=x售价-x成本=12t+2-(14t²-32t+3)=-14t²+2t-1=-14(t-4)²+3.
∵-14＜0，且1≤t≤7，
∴当t=4时，w有最大值.
∴4月出售这种蔬菜每千克获利最大.
（3）当y供给=y需求时，x-1=-15x²+9,解得x₁=5,x₂=-10（不合题意，舍去）.
∴此时售价为5元/千克，则y供给=x-1=5-1=4.令12t+2=5,解得t=6.
∴w=-14(t-4)²+3=-14×(6-4)²+3=2.
∵4吨=4 000千克，
∴总利润为2×4 000=8 000(元).
∴这种蔬菜的供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8 000元.