《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 若方程$(a-2)x^2+ax-3= 0是关于x$的一元二次方程,则$a$的取值范围是 (D)
A.$a＞2$
B.$a\geq0且a\neq2$
C.$a\geq2$
D.$a\neq2$

答案： D

2. 把一元二次方程$-2x(x+1)+4= x$化成一般形式后,若二次项系数为2,则一次项系数和常数项分别是 (B)
A.3,4
B.3,-4
C.-3,4
D.-3,-4

答案： B

3. 已知关于$x的一元二次方程(a+c)x^2+2bx+(a-c)= 0$,其中$a,b,c分别为\triangle ABC$三边的长. 如果$x= -1$是方程的根,那么$\triangle ABC$一定是 (B)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.边不相等的锐角三角形

答案： B

4. 若$x^{m+1}+6x-1= 0$是关于$x$的一元二次方程,则$m$的值是1.

答案： 1

5. 已知$\sqrt{2}$是关于x的方程$x^2-x+a= 0$的一个根,则$a-2-\frac{a^2}{a+2}$的值为$-2\sqrt{2}$.

答案： $-2\sqrt{2}$

6. 把方程$2(y+3)(3-y)= 3(y+1)^2$化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项(要求二次项系数为正整数).

答案： $5y^{2}+6y-15=0$,二次项系数为5,一次项系数为6,常数项为-15.

7. 易错题 若关于$x的一元二次方程(3a+6)x^2+3(a^2-4)x= 2$没有一次项,则$a$的值为 (C)
A.-2或2
B.-2
C.2
D.0

答案： C 解析:
∵关于x的一元二次方程$(3a+6)x^{2}+3(a^{2}-4)x=2$没有一次项,
∴$3(a^{2}-4)=0,3a+6≠0$.
∴$a=2$. 易错警示——忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错 根据某个条件求一元二次方程中待定字母的值时,要保证二次项的系数不为0.

8. 若$a是方程x^2-x-1= 0$的一个根,则$-a^3+2a+2025$的值为 (B)
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026

答案： B 解析:
∵a是方程$x^{2}-x-1=0$的一个根,
∴$a^{2}-a-1=0$.
∴$a^{2}-a=1$.
∴原式$=-(a^{3}-2a)+2025=-(a^{3}-a^{2}+a^{2}-a-a)+2025=-[a(a^{2}-a)+1-a]+2025=-(a+1-a)+2025=-1+2025=2024$.

9. 若关于$x的一元二次方程x^2+bx+a= 0有一个根是-a(a\neq0)$,则下列代数式的值恒为常数的是 (D)
A.$ab$
B.$\frac{a}{b}$
C.$a+b$
D.$a-b$

答案： D 解析:
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+a=0$有一个根是$-a$,
∴$(-a)^{2}-ab+a=0$,即$a^{2}-ab+a=0$.
∵$a≠0$,
∴$a-b=-1$.
∴$a-b$的值恒为常数.

10. 定义：如果一元二次方程$ax^2+bx+c= 0(a\neq0)满足a+b+c= 0$,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知$ax^2+bx+c= 0(a\neq0)$是“凤凰”方程,且有一个根为$-1$,则下列结论中,正确的是 (C)
A.$a= c,b= 1$
B.$a= b,c= 0$
C.$a= -c,b= 0$
D.$a= b= c$

答案： C 解析:根据题意,得$a+b+c=0,a-b+c=0$.两式相加,得$2(a+c)=0$.
∴$a=-c$.两式相减,得$2b=0$.
∴$b=0$.

11. 如果方程$(m-1)x^2+\sqrt{m}x-2= 0是关于x$的一元二次方程,那么$m$的取值范围是$m≥0$且$m≠1$.

答案： $m≥0$且$m≠1$ 解析:由题意,得$m≥0$且$m-1≠0$,解得$m≥0$且$m≠1$.

12. 如果关于$x的方程(m+3)x^{m^2-7}+(m-4)x+3= 0$是一元二次方程,那么这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和为8.

答案： 8

13. 若关于$x的一元二次方程ax^2+bx+c= 0(a\neq0)有一个根为x= 3$,则一元二次方程$a(2x+5)^2+b(2x+5)+c= 0(a\neq0)$必有一个根为$x=-1$.

答案： $x=-1$