《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

19. (8分)(通辽中考)某学校计划到甲、乙两家商店购买一批新的体育用品,两家商店的优惠活动如下：
甲商店：所有商品按原价的8.5折出售；
乙商店：一次性购买商品总额不超过300元的按原价付费,超过300元的部分打7折.
设需要购买体育用品的原价总额为x元,去甲商店购买实付$y_{甲}$元,去乙商店购买实付$y_{乙}$元,其函数图象如图所示.
(1)分别求$y_{甲}$、$y_{乙}$关于x的函数表达式；
(2)两图象交于点A,求点A的坐标；
(3)请结合函数图象,直接写出选择去哪家商店购买体育用品更合算.

答案： （1）由题意，易得$y_甲 = 0.85x$.当0≤x≤300时，$y_乙 = x$；当x＞300时，$y_乙 = 300+(x - 300)×0.7 = 0.7x + 90$.
∴易得$y_乙=\begin{cases}x(0\leqslant x\leqslant300), \\0.7x + 90(x＞300).\end{cases}$（2）令0.85x = 0.7x + 90，解得x = 600.将x = 600代入y = 0.85x，得y = 0.85×600 = 510，即点A的坐标为(600,510).（3）当0＜x＜600时，去甲商店购买体育用品更合算；当x = 600时，去两家商店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙商店购买体育用品更合算. 方法点金：解函数图象应用题的方法：解函数图象应用题首先要弄清平面直角坐标系中横、纵坐标所表示的量，再结合图象确定特殊点所表示的意义，求出函数表达式，结合函数的性质求自变量的取值范围或函数值.

20. (9分)参照学习函数的过程与经验,探索函数$y = x+\frac{1}{x}(x\gt0)$的图象与性质.
列表：
|x|…|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{3}$|$\frac{1}{2}$|1|2|3|4|5|…|
|y|…|$\frac{17}{4}$|$\frac{10}{3}$|$\frac{5}{2}$|2|$\frac{5}{2}$|$\frac{10}{3}$|$\frac{17}{4}$|$\frac{26}{5}$|…|
描点：如图①,在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点.
(1)如图①,观察所描出点的分布,用一条光滑的曲线将点顺次连结起来,画出函数图象.
(2)已知点$(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$在函数图象上,结合表格和函数图象,回答以下问题：
若$0\lt x_{1}\lt x_{2}\leq1$,则$y_{1}$______$y_{2}$；若$1\lt x_{1}\lt x_{2}$,则$y_{1}$______$y_{2}$；若$x_{1}\cdot x_{2}= 1$,则$y_{1}$______$y_{2}$.(填“$\gt$”“$\lt$”或“$=$”)
(3)某农户要建造一个如图②所示的长方体无盖水池,其底面积为1平方米,深为1米.已知底面造价为1千元/米^2,侧面造价为0.5千元/米^2.设水池底面一边的长为x米,水池总造价为y千元.
①请写出y关于x的函数表达式；
②若该农户预算不超过5.25千元,则水池底面一边的长x米应控制在什么范围内？

答案：
（1）函数图象如图所示.（2）＞；＜；=.（3）①由题意，得y = 1×1 +$(2x+\frac{2}{x})×0.5$，即y = 1 + x +$\frac{1}{x}$(x＞0).②由题意，得1 + x +$\frac{1}{x}$≤5.25，
∴x +$\frac{1}{x}$≤4.25.观察图象，可得$\frac{1}{4}$≤x≤4.
∴水池底面一边的长x米应控制在$\frac{1}{4}$≤x≤4的范围内.