《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

典例1 下列方程中,一定是关于$x$的一元二次方程的为 ( )

A.$2x^{2}-x-y^{2}= 0$
B.$x(x-2)= 0$
C.$ax^{2}+bx+c= 0$($a$、$b$、$c$为常数)
D.$x-\frac {2}{x}= 8$
点拨 方程$2x^{2}-x-y^{2}= 0$含有2个未知数,则A选项不符合题意.方程$x(x-2)= 0整理为x^{2}-2x= 0$,它为一元二次方程,则B选项符合题意.当$a= 0$时,方程$ax^{2}+bx+c= 0$不是一元二次方程,则C选项不符合题意.方程$x-\frac {2}{x}= 8$含有分式,它不是一元二次方程,则D选项不符合题意.
解答:
解有所悟:判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.

答案： B

典例2 把方程$(3x+2)(x-3)= 2x-6$化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
点拨 先去括号,移项,再合并同类项化为一般形式.
解答:
解有所悟:将一元二次方程化为一般形式要注意两点:(1)一般二次项系数为正,等式右边为0.(2)如果没有一次项,那么一次项系数为0;如果没有出现常数项,那么常数项为0.

答案： 去括号,得$3x^{2}-9x+2x-6=2x-6$.移项、合并同类项,得$3x^{2}-9x=0$.
∴ 它的二次项系数是 3,一次项系数是-9,常数项是 0.

典例3 已知$x= 2+\sqrt {3}是关于x的一元二次方程x^{2}-4x+m= 0$的一个实数根,则实数$m$的值是 ( )

A.0
B.1
C.-3
D.-1
点拨 将$x= 2+\sqrt {3}代入方程得到关于m$的方程,解之即可.
解答:
解有所悟:正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键.

答案： B