《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

5. 如图,一次函数$y= kx+b的图象与反比例函数y= \frac {m}{x}的图象交于A(-3,1)$、$B(1,n)$两点,连结$OA$、$OB$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式.
(2)求$\triangle AOB$的面积.
(3)在$x轴上是否存在点P$,使得$\triangle PAO$为等腰三角形? 若存在,请直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 5.
(1)
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上有A(−3,1)、B(1,n)两点，
∴$m=-3×1=-3$。
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}$。当$x = 1$时，$y=-3$，
∴$n=-3$。
∴B(1,−3)。将A(−3,1)、B(1,−3)代入$y=kx + b$，得$\begin{cases}-3k + b=1, \\k + b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=-2.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-x - 2$。
(2)由
(1)，知直线AB的函数表达式为$y=-x - 2$。设直线AB与x轴交于点C。当$y = 0$时，$x=-2$，
∴点C的坐标为(−2,0)。
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×3=4$。
(3)点P的坐标为(−6,0)或$(\sqrt{10},0)$或$(-\sqrt{10},0)$或$(-\frac{5}{3},0)$。

6. 分类讨论思想 如图,$A(1,6)和B(n,2)是一次函数y= kx+b的图象与反比例函数y= \frac {m}{x}(x＞0)$的图象的两个交点.
(1)求$m$、$n$的值;
(2)求一次函数的表达式;
(3)设$P是y$轴上的一个动点,当$\triangle PAB$的周长最小时,求点$P$的坐标;
(4)在(3)的条件下,设$D$是坐标平面内一个动点,当以点$A$、$B$、$P$、$D$为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点$D$的坐标.

答案： 6.
(1)将A(1,6)代入$y=\frac{m}{x}$，得$6=\frac{m}{1}$，解得$m = 6$。
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。将B(n,2)代入$y=\frac{6}{x}$，得$\frac{6}{n}=2$，解得$n = 3$，即点B的坐标为(3,2)。
∴$m = 6$，$n = 3$。
(2)将A(1,6)、B(3,2)代入$y=kx + b$，得$\begin{cases}k + b=6, \\3k + b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2, \\b=8.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-2x + 8$。
(3)作点A关于y轴的对称点G(−1,6)，连结BG交y轴于点P，连结PA，此时$\triangle PAB$的周长=AP + PB + AB=GP + PB + AB。
∵AB的长一定，
∴当GP + PB最小时，$\triangle PAB$的周长最小，即当GP + PB = BG时，$\triangle PAB$的周长最小，此时P为所求点。设直线BG对应的函数表达式为$y=cx + d$。将B(3,2)、G(−1,6)代入，得$\begin{cases}3c + d=2, \\-c + d=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-1, \\d=5.\end{cases}$
∴直线BG对应的函数表达式为$y=-x + 5$。令$x = 0$，则$y = 5$。
∴点P的坐标为(0,5)。
(4)点D的坐标为(2,1)或(−2,9)或(4,3)。