《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

典例 1 用直接开平方法解下列方程：
(1) $ 4 x ^ { 2 } - 25 = 0 $；
(2) $ ( x - 2 ) ^ { 2 } - 9 = 0 $；
(3) $ ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 81 = 0 $；
(4) $ ( y + 2 ) ^ { 2 } = ( 3 y - 1 ) ^ { 2 } $。
点拨 第(1)题化为 $ x ^ { 2 } = p $ 的形式；第(2)(3)题化为 $ ( m x + n ) ^ { 2 } = p $ 的形式；第(4)题根据 $ | y + 2 | = | 3 y - 1 | $ 可求方程的根。
解答：
解有所悟：如果一个一元二次方程具有 $ ( x + n ) ^ { 2 } = p ( p \geq 0 ) $ 的形式,就可以用直接开平方法求解,方程的解为 $ x _ { 1 } = - n - \sqrt { p } $,$ x _ { 2 } = - n + \sqrt { p } $。

答案： （1）x₁=5/2,x₂=-5/2.（2）x₁=5,x₂=-1.（3）x₁=3,x₂=-6.（4）y₁=3/2,y₂=-1/4.

典例 2 用因式分解法解下列方程：
(1) $ x ^ { 2 } - 4 x = 0 $；
(2) $ x ^ { 2 } - 1 = 2 ( x + 1 ) $；
(3) $ 2 ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 4 x + 2 $；
(4) $ 5 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } = 2 ( 1 - 3 x ) $。
点拨 先将所有式子移到方程的左边,右边为 $ 0 $,再将代数式分解因式。
解答：
解有所悟：用因式分解法解一元二次方程时要注意两点：(1) 方程的左边写成两个因式相乘的形式,方程的右边为 $ 0 $；(2) 当方程两边都有含未知数的公因式时,不能直接约去公因式,只能移项再分解因式。

答案： （1）x₁=0,x₂=4.（2）x₁=-1,x₂=3.（3）x₁=0,x₂=-1/2.（4）x₁=1/3,x₂=1/5.

1. 方程 $ x ^ { 2 } - 9 = 0 $ 的根为( )

A.$ x _ { 1 } = 3 $,$ x _ { 2 } = 0 $
B.$ x _ { 1 } = - 3 $,$ x _ { 2 } = 0 $
C.$ x _ { 1 } = 3 $,$ x _ { 2 } = - 3 $
D.无实数根

答案： C

2. 一元二次方程 $ x ( x - 2 ) = x $ 的根是( )

A.$ x = 0 $ 或 $ x = 3 $
B.$ x = 0 $
C.$ x = 0 $ 或 $ x = 2 $
D.$ x = 2 $

答案： A

3. 若关于 $ x $ 的方程 $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = 1 - m $ 没有实数根,则 $ m $ 的取值范围是( )

A.$ m ＞ 2 $
B.$ m ＜ 2 $
C.$ m ＞ 1 $
D.$ m ＜ 1 $

答案： C