《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

5. 如图,在四边形$BCDE$中,$CD// BE$,$F$是
$DE$的中点,连结$CF$并延长,交$BE$的延长
线于点$A$,且$E是AB$的中点. 求证：四边
形$BCDE$是平行四边形.

答案：
∵CD//BE，
∴∠D=∠AEF.
∵F是DE的中点，
∴DF=EF.在△CDF和△AEF中，∠D=∠AEF，DF=EF，∠CFD=∠AFE，
∴△CDF≌△AEF.
∴CD=AE.
∵E是AB的中点，
∴AE=BE.
∴CD=BE.又
∵CD//BE，
∴四边形BCDE是平行四边形.

6. 如图,在$□ ABCD$中,延长$DA$到
点$E$,延长$BC到点F$,使得$AE= $
$CF$,连结$EF$,分别交$AB$、$CD$于
点$M$、$N$,连结$DM$、$BN$. 求证：
(1)$△AEM≌△CFN$；
(2)四边形$BMDN$是平行四边形.

答案： （1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，AD//BC.
∴易得∠EAM=∠FCN.
∵AD//BC，
∴∠E=∠F.在△AEM和△CFN中，∠EAM=∠FCN，AE=CF，∠E=∠F，
∴△AEM≌△CFN.（2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD.
∵△AEM≌△CFN，
∴AM=CN.
∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN.又
∵BM//DN，
∴四边形BMDN是平行四边形.

7. 如图,在$□ ABCD$中,点$G$、$H$分别
在边$AB$、$DC$上,且$DH= GB$,连
结$DG$、$BH$并延长,分别交$CB$、
$AD的延长线于点E$、$F$. 求证：
(1)$△ADG≌△CBH$；
(2)四边形$DEBF$是平行四边形.

答案： （1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=DC.
∵DH=GB，
∴CD-DH=AB-GB，即CH=AG.在△ADG和△CBH中，AD=CB，∠A=∠C，AG=CH，
∴△ADG≌△CBH.（2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，∠ABC=∠ADC.
∴易得∠EBG=∠FDH.由（1），可知△ADG≌△CBH，
∴∠AGD=∠CHB.
∵∠BGE=∠AGD，∠DHF=∠CHB，
∴∠BGE=∠DHF.在△BEG和△DFH中，∠EBG=∠FDH，BG=DH，∠BGE=∠DHF，
∴△BEG≌△DFH.
∴BE=DF.又
∵BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形.