《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

10.(武汉中考)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题：如图,AC是$□ ABCD$的对角线,点E在AC上,$AD= AE= BE,∠D= 102^{\circ }$,则$∠BAC$的度数是____.

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=102°，
∴∠ABC=∠D=102°，AD=BC，AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA。
∵AD=AE，AD=BC，
∴AE=BC，
∴∠EAB=∠EBA。
设∠BAC=x，则∠EBA=x，∠AEB=180°-2x。
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=x，
∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=2x。
∵AE=BC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCA=2x，
∴∠DAC=∠BCA=2x。
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
即∠DAC+∠BAC+∠ABC=180°，
∴2x+x+102°=180°，
解得x=26°。
∠BAC的度数是26°。

11. 如图,在$□ ABCD$中,$EF// AD,GH// AB$,EF与GH交于点O,则图中平行四边形的个数是____.

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。
∵EF//AD，GH//AB，
∴EF//AD//BC，GH//AB//CD。
单个小平行四边形：AEOG、GOFD、EBHO、OHCF，共4个；
两个小平行四边形组成的平行四边形：ABHG、GHCD、AEFD、EBCF，共4个；
四个小平行四边形组成的平行四边形：ABCD，共1个。
总个数：4+4+1=9。
答案：9

12. 如图,在$□ ABCD$中,$AD= 4,AC= 8$.分别以点A、B为圆心,大于$\frac {1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧交于点E和点F；作直线EF,交AC于点G,连结GB.若GB与BC恰好垂直,则CG的长为____.

答案： 解：设 $CG = x$，则 $AG = AC - CG = 8 - x$。
由作图知，EF是AB的垂直平分线，$\therefore GA = GB = 8 - x$。
在$□ABCD$中，$BC = AD = 4$。
$\because GB \perp BC$，$\therefore \triangle GBC$是直角三角形。
在$Rt\triangle GBC$中，由勾股定理得：$GB^2 + BC^2 = CG^2$，即$(8 - x)^2 + 4^2 = x^2$。
展开得：$64 - 16x + x^2 + 16 = x^2$，化简得：$80 - 16x = 0$，解得$x = 5$。
$\therefore CG$的长为$5$。
答案：$5$

13.(安徽中考)如图,$□ OABC$的顶点O是坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点B、C在第一象限,反比例函数$y= \frac {1}{x}(x＞0)$的图象经过点C,$y= \frac {k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象经过点B.若$OC= AC$,则k的值为____.

答案： 解：设点$C\left(a,\dfrac{1}{a}\right)$，$a＞0$。
$\because$四边形$OABC$是平行四边形，
$\therefore OA=BC$，$OC=AB$，且$OA// BC$，$OC// AB$。
$\because$点$O$是坐标原点，点$A$在$x$轴正半轴上，
$\therefore$设点$A(m,0)$，$m＞0$，则点$B\left(m+a,\dfrac{1}{a}\right)$。
$\because OC=AC$，
$\therefore OC^{2}=AC^{2}$。
$\because OC^{2}=a^{2}+\left(\dfrac{1}{a}\right)^{2}$，$AC^{2}=(m - a)^{2}+\left(0 - \dfrac{1}{a}\right)^{2}$，
$\therefore a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}=(m - a)^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}$，
化简得$a^{2}=(m - a)^{2}$，
开方得$a = m - a$（$a = -(m - a)$舍去，$m＞0$），
解得$m = 2a$。
$\because$点$B\left(m + a,\dfrac{1}{a}\right)$在$y = \dfrac{k}{x}$上，
$\therefore k=(m + a)\cdot\dfrac{1}{a}$。
$\because m = 2a$，
$\therefore k=(2a + a)\cdot\dfrac{1}{a}=3a\cdot\dfrac{1}{a}=3$。
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14. 如图,在四边形ABCD中,$AD// BC,AD= 12cm,BC= 18cm$.点P在AD边上以每秒3 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上以每秒2 cm的速度从点C向点B运动,连结PQ.若点P、Q同时出发,则当PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时.点P运动了____秒.

答案： 解：设点P运动了$ t $秒。
由题意得：$ AP = 3t \, \text{cm} $，$ CQ = 2t \, \text{cm} $，则$ PD = AD - AP = (12 - 3t) \, \text{cm} $，$ BQ = BC - CQ = (18 - 2t) \, \text{cm} $。
因为$ AD // BC $，要使PQ截出平行四边形，需$ PD = CQ $或$ AP = BQ $。
情况1：$ PD = CQ $
$ 12 - 3t = 2t $
$ 5t = 12 $
$ t = \frac{12}{5} = 2.4 $
情况2：$ AP = BQ $
$ 3t = 18 - 2t $
$ 5t = 18 $
$ t = \frac{18}{5} = 3.6 $
当$ t = 3.6 $时，$ AP = 3×3.6 = 10.8 \, \text{cm} $，$ PD = 12 - 10.8 = 1.2 \, \text{cm} $，$ BQ = 18 - 2×3.6 = 10.8 \, \text{cm} $，$ CQ = 2×3.6 = 7.2 \, \text{cm} $，此时PQ在四边形内部，符合题意。
当$ t = 2.4 $时，$ CQ = 2×2.4 = 4.8 \, \text{cm} $，$ PD = 12 - 3×2.4 = 4.8 \, \text{cm} $，PQ在四边形内部，符合题意。
综上，$ t = 2.4 $或$ 3.6 $。
答案：$ 2.4 $或$ 3.6 $

15.(9分)如图,在四边形ABCD中,$AB= CD,AB// CD$.求证：$AD// BC$.

答案： 【解析】：本题主要考查平行四边形的判定定理和性质定理。
平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质定理：平行四边形的对边平行。
题目给出四边形$ABCD$中$AB=CD$且$AB// CD$，
因此，四边形$ABCD$是平行四边形，
从而可以推出$AD// BC$。
【答案】：证明：
∵在四边形$ABCD$中，$AB=CD$且$AB// CD$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$。

16.(9分)(宿迁中考)如图,在$□ ABCD$中,E、F分别是边AB、CD的中点. 求证：$AF= CE$.

答案： 【解析】：本题主要考查平行四边形的性质与判定，通过已知条件$E$、$F$分别是边$AB$、$CD$的中点，可得到$AE = CF$，再结合平行四边形$ABCD$的性质，证明四边形$AECF$是平行四边形，进而得出$AF = CE$。
【答案】：证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$。
∵$E$、$F$分别是边$AB$、$CD$的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴$AE = CF$。
又
∵$AE// CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴$AF = CE$（平行四边形的对边相等）。