《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

16.(10分)新考法 开放题(岳阳中考)如图,点E、F分别在$□ ABCD$的边AB、BC上,$AE= CF$,连结DE、DF.有以下三个条件：①$∠1= ∠2$；②$DE= DF$；③$∠3= ∠4$.请从中选择一个合适的条件作为已知条件,使四边形ABCD为菱形.
(1)你选择的条件是____；(填序号)
(2)结合你选择的条件,求证：四边形ABCD为菱形.

答案：
(1)①或③.
(2)选择①,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C.在△ADE和△CDF中,{∠1=∠2,∠A=∠C,AE=CF,
∴ △ADE≌△CDF.
∴ AD=CD.
∴ 四边形ABCD为菱形;选择③,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠A=∠C.在△ADE和△CDF中,{∠3=∠4,AE=CF,∠A=∠C,
∴ △ADE≌△CDF.
∴ AD=CD.
∴ 四边形ABCD为菱形.

17.(12分)如图,在$△ABC$中,D为边BC上一点,E为AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,且$AF= DC$,连结CF.
(1)若$AB= AC$,试猜想四边形ADCF的形状,并证明你的结论；
(2)猜想当$△ABC$满足什么条件时,四边形ADCF为正方形,并证明你的结论.

答案：
(1)四边形ADCF为矩形.
∵ AF=DC,AF//BC,
∴ 四边形ADCF为平行四边形.又
∵ E为AD的中点,AF//BD,
∴ AE=DE,∠AFE=∠DBE.在△AEF和△DEB中,{∠AFE=∠DBE,∠AEF=∠DEB,AE=DE,
∴ △AEF≌△DEB.
∴ AF=DB.
∴ DB=DC.
∵ AB=AC,
∴ △ABC为等腰三角形.
∴ AD⊥BC.
∴ ∠ADC=90°.
∴ 四边形ADCF为矩形.
(2)当△ABC为等腰直角三角形时,四边形ADCF为正方形.由
(1),知DB=DC,四边形ADCF为平行四边形.
∵ △ABC为等腰直角三角形,DB=DC,
∴ AD⊥BC,AD平分∠BAC.
∴ ∠ADC=90°.
∴ 四边形ADCF为矩形.
∵ ∠BAC=90°,
∴ ∠BAD=∠DAC=45°,∠ABC=∠ACB=45°.
∴ ∠DAC=∠ACD.
∴ AD=CD.
∴ 四边形ADCF为正方形.

18.(15分)在正方形ABCD中,$∠MAN= 45^{\circ },∠MAN$绕点A顺时针旋转,它的两边分别交直线答案讲解CB、DC于点M、N.
(1)当$∠MAN$绕点A旋转到$BM= DN$时(如图①),求证：$BM+DN= MN$；
(2)当$∠MAN$绕点A旋转到$BM≠DN$时(如图②),线段BM、DN和MN之间的数量关系是____；
(3)当$∠MAN$绕点A旋转到如图③所示的位置时,猜想线段BM、DN和MN之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)过点A作AE⊥MN于点E.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB=AD,∠D=∠B=∠BAD=90°.
∵ ∠MAN=45°,
∴ ∠BAM+∠DAN=90°-45°=45°.在△ABM和△ADN中,{AB=AD,∠B=∠D,BM=DN,
∴ △ABM≌△ADN.
∴ AM=AN,∠BAM=∠DAN=1/2×45°=22.5°.又
∵ AE⊥MN,
∴ ∠NAE=1/2∠MAN=22.5°,MN=2EN.
∴ ∠DAN=∠NAE.
∴ AN为∠DAE的平分线.
∵ AE⊥MN,∠D=90°,
∴ EN⊥AE,DN⊥AD.
∴ DN=EN.
∴ BM=DN=EN.
∴ BM+DN=MN.
(2)BM+DN=MN.
(3)DN-BM=MN.理由:在DC上截取DF=BM,连结AF.易证△ADF≌△ABM,
∴ ∠DAF=∠BAM,AF=AM.
∴ ∠FAM=∠BAM+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°.
∵ ∠MAN=45°,
∴ ∠FAN=∠FAM-∠MAN=45°.
∴ ∠FAN=∠MAN.
∵ 在△MAN和△FAN中,{AM=AF,∠MAN=∠FAN,AN=AN,,
∴ △MAN≌△FAN.
∴ FN=MN,即DN-DF=MN.
∴ DN-BM=MN.