《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

18. ★(8分)(扬州中考)某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染(如下表).
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:
李阿姨:"我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%."
王师傅:"甲商品的数量比乙商品多40件."
请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.

答案： 设乙商品的进价为$x$元/件,则甲商品的进价为$(1+50\%)x$元/件.根据题意,得$\frac{7200}{(1+50\%)x}-\frac{3200}{x}=40$,解得$x=40$.经检验,$x=40$是原方程的解,且符合题意.$\therefore (1+50\%)x=60$,$\frac{3200}{x}=80$,$\frac{7200}{(1+50\%)x}=120$.$\therefore$甲商品的进价为60元/件,乙商品的进价为40元/件,购进甲商品120件,购进乙商品80件.(填表略)方法点金列分式方程解应用题列分式方程的关键是找出题目中的等量关系,设适当的未知数,用含未知数的代数式表示等量关系即可列出方程.例如,本题中的等量关系是“甲商品的数量比乙商品多40件”,用含未知数的代数式表示出这个等量关系即可列出方程.

19. (10分)在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来化简式子,解答问题.
材料一:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一.所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分进行化简,以达到计算目的.例:已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{4}$,求代数式$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值.
解:$\because \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{4},\therefore \frac{x^2 + 1}{x} = 4$,即$\frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = 4$.
$\therefore x + \frac{1}{x} = 4.\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 16 - 2 = 14$.
材料二:在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数"k",将连等式变成几个值为k的等式,这样就可以通过适当变形解决问题.例:若$2x = 3y = 4z$,且$xyz \neq 0$,求$\frac{x}{y + z}$的值.
解:令$2x = 3y = 4z = k(k \neq 0)$,则$x = \frac{k}{2},y = \frac{k}{3},z = \frac{k}{4}.\therefore原式 = \frac{\frac{k}{2}}{\frac{k}{3} + \frac{k}{4}} = \frac{\frac{1}{2}k}{(\frac{1}{3} + \frac{1}{4})k} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7}$.
根据材料回答以下问题:
(1)已知$\frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{4}$,求$x + \frac{1}{x}$的值;
(2)已知$\frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}(abc \neq 0)$,求$\frac{3b + 4c}{2a}$的值.

答案： （1）$\because \frac{x}{x^{2}-x+1}=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{x^{2}-x+1}{x}=4$,即$\frac{x^{2}}{x}-\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=4$.$\therefore x-1+\frac{1}{x}=4$.$\therefore x+\frac{1}{x}=5$.（2）令$\frac{a}{5}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=k$,则$a=5k$,$b=2k$,$c=3k$.$\therefore$原式$=\frac{3× 2k+4× 3k}{2× 5k}=\frac{18k}{10k}=\frac{9}{5}$.