《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

7. (1) 如图①,在四边形ABCD中,AB= AD,∠B= ∠D= 90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且$∠EAF= \frac { 1 } { 2 } ∠BAD. $请直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系：____.
(2) 如图②,在四边形ABCD中,若AB= AD,∠B+∠D= 180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且$∠EAF= \frac { 1 } { 2 } ∠BAD,$则(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由.

答案：
(1)EF=BE+DF.
(2)成立.如图,延长EB到点G,使BG=DF,连结AG.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,
∴∠ABG=∠D.
∵在△ABG和△ADF中,AB=AD,∠ABG=∠D,BG=DF,
∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF,∠1=∠2.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∴∠1+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF,即∠GAE=∠EAF.又
∵AE=AE,
∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,
∴EF=BE+DF.