《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

1. (菏泽中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= ax+b的图象与反比例函数y= \frac {k}{x}的图象交于A(2,-4)$、$B(-4,m)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)过$O$、$A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C$,连结$BC$,求$\triangle ABC$的面积.

答案： 1.
(1)将A(2,−4)代入$y = \frac{k}{x}$，得$k=2×(-4)=-8$。
∴反比例函数的表达式为$y = -\frac{8}{x}$。将B(−4,m)代入$y = -\frac{8}{x}$，解得$m = 2$，
∴点B的坐标为(−4,2)。将A(2,−4)和B(−4,2)代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}2a + b=-4, \\-4a + b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1, \\b=-2.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-x - 2$。
(2)设AB与x轴交于点D，连结CD。由题意，可知点A与点C关于原点对称，
∴C(−2,4)。在$y=-x - 2$中，当$x=-2$时，$y=0$，
∴D(−2,0)。
∴CD⊥x轴于点D，CD = 4。
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}×4×(2 + 2)+\frac{1}{2}×4×(4 - 2)=8 + 4=12$。

2. (河南中考)如图,反比例函数$y= \frac {k}{x}(x＞0)的图象经过点A(2,4)和点B$,点$B在点A$的下方,$AC平分∠OAB$,交$x轴于点C$.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段$AC$的垂直平分线.(不写作法,保留作图痕迹)
(3)线段$OA$与(2)中所作的垂直平分线相交于点$D$,连结$CD$.求证:$CD// AB$.

答案：
2.
(1)
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A(2,4)，
∴$k=2×4=8$。
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}(x＞0)$。
(2)如图，直线m即为所求作。
(3)如图，连结CD。
∵AC平分∠OAB，
∴∠OAC = ∠BAC。
∵直线m垂直平分线段AC，
∴DA = DC。
∴∠DAC = ∠DCA。
∴∠DCA = ∠BAC。
∴CD//AB。