《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

18. (8 分)如图,四边形 $ A B C D $ 是平行四边形,$ A F = C E $,$ A F $、$ C E $ 分别是 $ \angle B A D $、$ \angle B C D $ 的平分线,连结 $ B F $、$ B E $、$ D E $、$ D F $、$ B D $、$ E F $. 试判断 $ B D $ 与 $ E F $ 有何关系,并说明理由.

答案： BD 与 EF 互相平分. 理由：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD=BC，CD=BA，∠BAD=∠BCD.
∵ AF、CE 分别是∠BAD、∠BCD 的平分线，
∴ ∠DAF=∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠DCE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∴ ∠DAF=∠BAF=∠DCE=∠BCE. 在△ADF 和△CBE 中，$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠DAF=∠BCE, \\ AF=CE, \end{cases}$
∴ △ADF≌△CBE.
∴ DF=BE. 同理，可得△DEC≌△BFA.
∴ DE=BF.
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.
∴ BD 与 EF 互相平分.

19. (8 分)(东营中考)为满足顾客的购物需求,某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售. 经了解,甲种水果的进价比乙种水果的进价低 $ 20 \% $,水果店用 1 000 元购进甲种水果的质量比用 1 200 元购进乙种水果的质量多 10 千克. 已知甲、乙两种水果的售价分别为 6 元/千克和 8 元/千克.
(1)甲、乙两种水果的进价分别为多少？
(2)若该水果店购进这两种水果共 150 千克,其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的 2 倍,则该水果店应如何进货才能获得最大利润？最大利润为多少元？

答案：
(1) 设乙种水果的进价为 x 元/千克，则甲种水果的进价为(1-20%)x 元/千克. 由题意，得$\frac{1000}{(1-20\%)x}=\frac{1200}{x}+10$，解得 x=5. 经检验，x=5 是原方程的解，且符合题意. 5×(1-20%)=4(元/千克).
∴ 甲种水果的进价为 4 元/千克，乙种水果的进价为 5 元/千克.
(2) 设购进甲种水果 m 千克，则购进乙种水果(150-m)千克，利润为 w 元. 由题意，得 w=(6-4)m+(8-5)(150-m)=$-m+450$.
∵ 甲种水果的质量不低于乙种水果质量的 2 倍，
∴ m≥2(150-m)，解得 m≥100.
∵ -1＜0，则 w 随 m 的增大而减小，
∴ 当 m=100 时,w 最大，w 的最大值=-100+450=350，则 150-m=50.
∴ 购进甲种水果 100 千克，乙种水果 50 千克才能获得最大利润，最大利润为 350 元.

20. (8 分)如图,在矩形 $ A B C D $ 中,对角线 $ B D $ 的垂直平分线 $ M N $ 与 $ A D $ 交于点 $ M $,与 $ B C $ 交于点 $ N $,连结 $ B M $、$ D N $.
(1)求证：四边形 $ B M D N $ 是菱形；
(2)若 $ A B = 4 $,$ A D = 8 $,求四边形 $ B M D N $ 的周长.

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD//BC，∠A=90°，OB=OD，
∴ ∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO.
∵ MN 是线段 BD 的垂直平分线，
∴ MN⊥BD. 在△DMO 和△BNO 中，$\begin{cases} ∠MDO=∠NBO, \\ ∠DMO=∠BNO, \\ OD=OB, \end{cases}$
∴ △DMO≌△BNO.
∴ OM=ON. 又
∵ OB=OD，
∴ 四边形 BMDN 是平行四边形.
∵ MN⊥BD，
∴ 四边形 BMDN 是菱形.
(2) 由
(1)知，四边形 BMDN 是菱形. 设 MD=MB=x，则 AM=8-x. 在 Rt△AMB 中，由勾股定理，得$x^2=(8-x)^2+4^2$，解得 x=5.
∴ MB=5.
∴ 四边形 BMDN 的周长为 5×4=20.