《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

16. (13分)(永州中考)如图,$BD是□ ABCD$的对角线,$BF平分∠DBC$,交$CD于点F$.
(1)请用尺规作$∠ADB的平分线DE$,交$AB于点E$.(要求保留作图痕迹,不写作法)
(2)根据图形猜想四边形$DEBF$是平行四边形.
请将下面的证明过程补充完整.
证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形,
∴$AD// BC$.
∴$∠ADB= ∠$______.(两直线平行,内错角相等)
又∵$DE平分∠ADB$,$BF平分∠DBC$,
∴$∠EDB= \frac {1}{2}∠ADB$,$∠DBF= \frac {1}{2}∠DBC$.
∴$∠EDB= ∠DBF$.
∴$DE// $______.(______)(填推理的依据)
又∵四边形$ABCD$是平行四边形,
∴$BE// DF$.
∴四边形$DEBF$是平行四边形.(______)(填推理的依据)

答案：
（1）如图,DE即为所求作.（2）DBC;BF;内错角相等，两直线平行;两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
　　　　　　　

17. (13分)如图,在四边形$ABCD$中,$∠ADB= 90^{\circ }$,$AD= 12$,$OD= OB= 5$,$AC= 26$.
(1)求证：四边形$ABCD$是平行四边形；
(2)求四边形$ABCD$的面积.

答案： （1）
∵ $\angle ADB = 90^\circ$,
∴ $OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$.
∵ $AC = 26$,
∴ $OC = AC - OA = 13$.
∴ $OA = OC$.
∵ $OD = OB$,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.（2）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$BD = OB + OD = 10$,
∴ 四边形ABCD的面积$ = AD×BD = 12×10 = 120$.

18. (15分)在$△ABC$中,$AB= AC$,点$D在边BC$所在的直线上,过点$D作DE// AC交直线AB于点E$,作$DF// AB交直线AC于点F$.
(1)如图①,当点$D在边BC$上时,求证：$DE+DF= AC$.
(2)如图②,点$D在边BC$的延长线上；如图③,点$D在边BC$的反向延长线上.请分别写出图②、图③中$DE$、$DF与AC$之间的等量关系式.(不需要证明)
(3)若$AC= 10$,$DE= 7$,则$DF$的长为多少？

答案： （1）
∵ $DE// AC$,$DF// AB$,
∴ 四边形AEDF是平行四边形,$\angle FDC = \angle B$.
∴ $DE = AF$.又
∵ $AB = AC$,
∴ $\angle B = \angle C$.
∴ $\angle FDC = \angle C$.
∴ $DF = FC$.
∴ $DE + DF = AF + FC = AC$.（2）图②:$DE - DF = AC$;图③:$DF - DE = AC$.（3）
∵ $AC ＞ DE$,
∴ 点D不在边BC的延长线上，分两种情况讨论:① 当点D在边BC上时，$DF = AC - DE = 10 - 7 = 3$;② 当点D在边BC的反向延长线上时,$DF = AC + DE = 10 + 7 = 17$.