《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

6. 操作：第一步：如图①,对折矩形纸片 $ABCD$,使 $AD$ 与 $BC$ 重合,得到折痕 $EF$,把纸片展开.
第二步：如图②,再一次折叠纸片,使点 $A$ 落在 $EF$ 上的点 $N$ 处,并使折痕经过点 $B$,得到折痕 $BM$,同时得到线段 $BN$. 连结 $AN$,易知 $\triangle ABN$ 的形状是____.
论证：如图③,若延长 $MN$ 交 $BC$ 于点 $P$,试判定 $\triangle BMP$ 的形状,并说明理由.

答案： 等边三角形.△BMP是等边三角形.理由:
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°.由折叠,可知∠NBM=∠ABM,∠BNM=∠BAD=90°,
∴∠BNP=90°.
∵△ABN是等边三角形，
∴∠ABN=60°.
∴∠NBM=∠ABM=$\frac{1}{2}$∠ABN=30°.
∵∠NBP=∠ABP−∠ABN=30°,∠BNM=∠BNP=90°,
∴易得∠BPM=∠MBP=60°.
∴△BMP是等边三角形.

7. 对角线长分别为 $6$ 和 $8$ 的菱形 $ABCD$ 如图所示,$O$ 为对角线的交点,过点 $O$ 折叠菱形,使点 $B$、$C$ 分别落在点 $B'$、$C'$ 处,$MN$ 是折痕. 若 $B'M = 1.5$,则 $CN$ 的长为 ( )

A.$3.5$
B.$4.5$
C.$5.5$
D.$6.5$

答案： A

8. 如图①,四边形 $ABCD$ 是一张菱形纸片,其中 $\angle A = 45^\circ$,把点 $A$ 与点 $C$ 分别折向点 $D$,折痕分别为 $EG$ 和 $FH$,两条折痕的延长线交于点 $O$.
(1) 请在图②中将图形补充完整.
(2) 求 $\angle EOF$ 的度数.
(3) 四边形 $DGOH$ 是菱形吗？请说明理由.

答案：

(1)如图所示.
(2)
∵四边形ABCD是菱形,∠A=45°,
∴AD=CD,∠A=∠C=45°,∠ADC=135°.由折叠,可知AE=DE=$\frac{1}{2}$AD,GE⊥AD,∠A=∠GDA=45°,DF=FC=$\frac{1}{2}$CD,HF⊥CD,∠C=∠CDH=45°.
∴∠OED=∠OFD=90°.
∵∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC=360°,
∴∠EOF=360°−90°−90°−135°=45°.
(3)四边形DGOH是菱形.理由:
∵∠ADC=135°,∠ADG=∠CDH=45°,
∴易得∠GDC=∠ADH=90°,即GD⊥CD,DH⊥AD.又
∵GE⊥AD,HF⊥CD,
∴GE//DH,GD//HF.
∴四边形DGOH是平行四边形.
∵AE=DE=$\frac{1}{2}$AD,DF=FC=$\frac{1}{2}$CD,AD=CD,
∴DE=DF,且∠ADG=∠CDH=45°,∠DEG=∠DFH=90°.
∴△DEG≌△DFH.
∴DG=DH.
∴四边形DGOH是菱形.

9. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $15$,$P$ 为 $BC$ 边上一点,$PB = 2PC$. 将正方形 $ABCD$ 沿 $PA$ 折叠,使点 $B$ 落在点 $B'$ 处,延长 $PB'$ 交 $CD$ 于点 $Q$,则 $PQ$ 的长为____.

答案： 13