《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

1. 如图,$CD⊥AC$,$AB⊥AC$,垂足分别为$C$、
$A$,$AD= BC$. 求证：
(1)$Rt△ACD≌Rt△CAB$；
(2)四边形$ABCD$是平行四边形.

答案： （1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，AD=CB，AC=CA，
∴Rt△ACD≌Rt△CAB.（2）
∵Rt△ACD≌Rt△CAB，
∴CD=AB，AD=CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.

2. 如图,以$△ABC$的三边为边分别作等边三角
形$ADC$、$ABE$、$BCF$. 求证：四边形$ADFE$
是平行四边形.

答案：
∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°.
∴∠ABE-∠ABF=∠CBF-∠ABF，即∠FBE=∠CBA.在△EBF和△ABC中，EB=AB，∠FBE=∠CBA，BF=BC，
∴△EBF≌△ABC.
∴EF=AC.又
∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC.
∴EF=AC=AD.同理，可得△ABC≌△DFC.
∴AB=AE=DF.
∴四边形ADFE是平行四边形.

3. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,$D$、$E$
分别为$AB$、$AC$的中点,点$F在BC$的延长
线上,且$∠CEF= ∠A$. 求证：四边形$DCFE$
是平行四边形.

答案：
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴AD=DB，AE=EC.
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DA=DB.
∴∠A=∠DCA.
∵∠CEF=∠A，
∴∠CEF=∠DCA.
∴CD//EF.
∵AD=DC，AE=EC，
∴易得∠AED=∠ACB=90°.
∴DE//CF.
∴四边形DCFE是平行四边形.

4. 如图,在四边形$ABCD$中,$BD⊥AC$,垂足为
$F$,$E为四边形ABCD$外一点,且$∠ADE= $
$∠BAD$,$AE⊥AC$. 求证：四边形$ABDE$是
平行四边形.

答案：
∵BD⊥AC，AE⊥AC，
∴AE//BD.
∵∠ADE=∠BAD，
∴AB//ED.
∴四边形ABDE是平行四边形.