《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

17.(10分)(鞍山中考)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,$BE⊥AC,DF⊥AC$,垂足分别为E、F,且$BE= DF,∠ABD= ∠BDC$. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

答案： 证明：
∵∠ABD=∠BDC，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAO=∠DCO（两直线平行，内错角相等）。
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEO=∠DFO=90°。
在△BEO和△DFO中，
∠BEO=∠DFO，
∠BOE=∠DOF（对顶角相等），
BE=DF，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴BO=DO。
在△ABO和△CDO中，
∠BAO=∠DCO，
∠AOB=∠COD（对顶角相等），
BO=DO，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴AB=CD。
∵AB//CD且AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

18.(11分)如图,在$□ ABCD$中,BD是它的一条对角线.
(1)求证：$\triangle ABD\cong \triangle CDB$；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF,分别交AD、BC于点E、F；(不写作法,保留作图痕迹)
(3)连结BE,若$∠DBE= 25^{\circ }$,求$∠AEB$的度数.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AB=CD，
在△ABD和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AD=CB\\ BD=DB\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB(SSS)；
(2)作图如下：
(3)解：
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠EDB=∠DBE=25°，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠EBC=∠EDB=25°，
∴∠AEB=25°。

19.(13分)如图,在$□ ABCD$中,$AB＞AD,∠ABC$为锐角,O是对角线BD的中点. 某数学学习小组要在BD上找两点E、F,使四边形AECF为平行四边形,现总结出甲、乙、丙三种方案如下：
请回答以下问题：
(1)以上方案能得到四边形AECF为平行四边形的是____；
(2)请将(1)中方案的证明过程写下来.(如果有多种只写一种即可)

答案： 【解析】：本题主要考查平行四边形的性质和判定。
(1)观察甲、乙、丙三种方案，需要根据平行四边形的性质判断哪种方案能使得四边形$AECF$为平行四边形。
在平行四边形中，对角线互相平分。
已知$O$是$BD$的中点，若能找到$E$、$F$使得$OE = OF$，且$AE// CF$，那么四边形$AECF$就可能是平行四边形。
甲方案：通过作$∠DAE$和$∠BCF$的平分线交$BD$于$E$、$F$。
这个方案并不能直接保证$AE// CF$且$OE = OF$，因此甲方案不可行。
乙方案：以$D$为圆心，以任意长为半径作圆弧交$BD$于$E$，再以$B$为圆心，以相同长为半径作圆弧交$BD$于$F$。
这个方案也不能保证$AE// CF$且$OE = OF$，因此乙方案不可行。
丙方案：分别作$AE$、$CF$垂直$BD$于点$E$、$F$。
由于$O$是$BD$的中点，且$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，根据平行四边形的性质（对角线互相平分且垂直的线段构成的四边形是平行四边形的一部分条件，但此处主要利用垂直和对称性质），可以推断出四边形$AECF$的对边相等且平行（即$AE// CF$，且由于$O$是中点，$OE = OF$，进而可以推出$AO = CO$，结合$AE// CF$，可以得出四边形$AECF$是平行四边形）。
因此，能得到四边形$AECF$为平行四边形的方案是丙。
(2)选择丙方案进行证明：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$CD// AB$，
∵$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，
∴$\angle AED = \angle CFB = 90^\circ$，
∵$AB// CD$，
∴$\angle CDF = \angle ABE$（两直线平行，内错角相等），
∵$AD// BC$，
∴$\angle ADB = \angle CBD$（两直线平行，内错角相等），
∵$O$是$BD$的中点，
∴$BO = DO$，
在$\triangle AED$和$\triangle CFB$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle AED = \angle CFB \\\angle ADB = \angle CBD \\DO = BO\end{array}\right.$
∴$\triangle AED \cong \triangle CFB$（AAS），
∴$AE = CF$，
∵$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，
∴$AE// CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】：
(1)丙；
(2)证明过程如上。