《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

9. 如图,$□ AOCD的顶点O$在原点处,点$C在x$轴的正半轴上,按以下步骤作图：①以点$O$为圆心、适当长为半径画弧,交$OA于点M$,交$OC于点N$；②分别以点$M$、$N$为圆心,大于$\frac {1}{2}MN$的长为半径画弧,两弧在$∠AOC内相交于点E$；③画射线$OE$,交$AD于点F(3,4)$.点$A$的坐标为( )

A.$(-\frac {7}{6},4)$
B.$(-2,4)$
C.$(-\frac {4}{5},3)$
D.$(-\frac {6}{7},4)$

答案： A

10. 如图,如果$AO= OC$,$BD= 6cm$,那么当$OB= $______$cm$时,四边形$ABCD$是平行四边形.

答案： 3

11. 如图,$E是□ ABCD的边BC$上的一点,且$AB= BE$,连结$AE$,并延长$AE与DC的延长线交于点F$,$∠F= 60^{\circ }$,则$∠D$的度数是______.

答案： $60^\circ$

12. 如图所示为用平行四边形纸条沿对边$AB$、$CD上的点E$、$F所在的直线折成的V$字形图案.已知$∠2= 50^{\circ }$,则$∠1$的度数是______.

答案： $65^\circ$

13. 如图,将$Rt△ABC沿射线BC$方向平移6cm,得到$Rt△A'B'C'$.已知$∠ACB= 90^{\circ }$,$BC= 3cm$,$AC= 4cm$,则涂色部分的面积为______$cm^{2}$.

答案： 18

14. 分类讨论思想 如图,在$△ABC$中,$AB= AC= 10cm$,$BD⊥AC于点D$,且$BD= 8cm$.点$M从点A$出发,沿$AC$方向匀速运动,速度为$4cm/s$；同时点$P从点B$出发,沿$BA$方向匀速运动,速度为$1cm/s$.过点$P的直线PQ// AC$,交$BC于点Q$,连结$PM$.设运动时间为$ts(0＜t＜2.5)$,则当$t= $______时,以$P$、$Q$、$D$、$M$为顶点的四边形是平行四边形.

答案：
$\frac{6}{5}$或2 解析:
∵ $BD\perp AC$,
∴ $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$ (cm).
∵ $AB=AC$,
∴ $\angle ABC=\angle C$,即 $\angle PBQ=\angle C$.
∵ $PQ// AC$,
∴ $\angle PQB=\angle C$.
∴ $\angle PBQ=\angle PQB$.
∴ $PB=PQ$.分两种情况:① 如图①,当点M在点D的上方时，连结QD.由题意，得 $PQ = BP = t$ cm,$AM = 4t$ cm,$AD = 6$ cm.
∴ $MD = AD - AM = (6 - 4t)$ cm.
∵ $PQ// AC$,
∴ $PQ// MD$.
∴ 当 $PQ = MD$ 时,四边形PQDM是平行四边形.
∴ $t = 6 - 4t$,解得 $t = \frac{6}{5}$.② 如图②,当点M在点D的下方时，连结PD、QM.根据题意,得 $PQ = BP = t$ cm,$AM = 4t$ cm,$AD = 6$ cm.
∴ $MD = AM - AD = (4t - 6)$ cm.
∵ $PQ// AC$,
∴ $PQ// MD$.
∴ 当 $PQ = DM$ 时，四边形PQMD是平行四边形.
∴ $t = 4t - 6$,解得 $t = 2$.综上所述,当 $t = \frac{6}{5}$ 或 $t = 2$ 时,以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形.

15. (12分)(河池中考)如图,点$A$、$F$、$C$、$D$在同一条直线上,$AB= DE$,$AF= CD$,$BC= EF$.
(1)求证：$∠ACB= ∠DFE$；
(2)连结$BF$、$CE$,判断四边形$BFEC$的形状,并说明理由.

答案：
（1）
∵ $AF = CD$,
∴ $AF + CF = CD + CF$,即 $AC = DF$.在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中,$\begin{cases}AB = DE\\BC = EF\\AC = DF\end{cases}$，
∴ $\triangle ABC\cong\triangle DEF$.
∴ $\angle ACB = \angle DFE$.（2）如图,四边形BFEC是平行四边形.理由:由（1）可知,$\angle ACB = \angle DFE$.
∴ $BC// EF$.又
∵ $BC = EF$,
∴ 四边形BFEC是平行四边形.