《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

21. (10 分)某校举行安全知识问答竞赛. 每班选 20 名同学参加比赛. 根据答对题目的数量得分,分别为 5 分、4 分、3 分、2 分. 该校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图.
(1)请把甲班安全知识问答竞赛成绩统计图补充完整.
(2)通过统计得到下表,请求出表中 $ a $、$ b $ 的值.
(3)根据(2)的结果,你认为甲、乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由.
甲、乙两班安全知识问答竞赛成绩统计表
|班级|平均数(分)|中位数(分)|众数(分)|
|甲班| $ a $ | 4 | 4 |
|乙班| 3.6 | 3.5 | $ b $ |
甲班安全知识问答竞赛成绩统计图

乙班安全知识问答竞赛成绩统计图

答案：
(1) 甲班得分为 3 分的人数为 20-(4+8+4)=4，补全统计图如图所示.
(2) $a=3.6$，b=5.
(3) 甲班成绩更好. 理由：在甲、乙两班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，即甲班高分人数多于乙班，
∴ 甲班成绩更好. (合理即可)

22. (12 分)(徐州中考)如图,一次函数 $ y = k x + b ( k ＞ 0 ) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac { 8 } { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象交于点 $ A $,与 $ x $ 轴交于点 $ B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,$ A D \perp x $ 轴于点 $ D $,$ C B = C D $,点 $ C $ 关于直线 $ A D $ 的对称点为 $ E $.
(1)点 $ E $ 是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由.
(2)连结 $ A E $、$ D E $,若四边形 $ A C D E $ 为正方形.
① 求 $ k $、$ b $ 的值；
② 若 $ P $ 是 $ y $ 轴上一动点,当 $ | P E - P B | $ 最大时,求点 $ P $ 的坐标.

答案：
(1) 点 E 在这个反比例函数的图象上. 理由：
∵ 一次函数 y=kx+b(k＞0)的图象与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象交于点 A，
∴ 设点 A 的坐标为$(m,\frac{8}{m})$.
∵ 点 C 关于直线 AD 的对称点为 E，
∴ 易得 AD 垂直平分线段 CE. 设 CE 交 AD 于点 H，则 CH=EH.
∴ CE=2CH=2m.
∵ BC=CD，OC⊥BD，
∴ OB=OD.
∴ 易得 OC=$\frac{1}{2}AD=\frac{4}{m}$.
∵ AD⊥x 轴于点 D，
∴ 易得 CE//x 轴.
∴ 点 E 的坐标为$(2m,\frac{4}{m})$.
∵ $2m×\frac{4}{m}=8$，
∴ 点 E 在这个反比例函数的图象上.
(2) ①
∵ 四边形 ACDE 为正方形，
∴ AD=CE，AD 垂直平分 CE.
∴ CH=$\frac{1}{2}AD$. 由
(1)，可知 CH=m，$AD=\frac{8}{m}$.
∴ $m=\frac{1}{2}×\frac{8}{m}$，即$m^2=4$.
∴ m=2(负值舍去).
∴ A(2,4)、C(0,2). 把 A(2,4)、C(0,2)代入 y=kx+b，得$\begin{cases} 2k+b=4, \\ b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1, \\ b=2. \end{cases}$② 由题意，易得|PE - PB|=|PE - PD|≤DE，即当 P 为 ED 的延长线与 y 轴的交点时，|PE - PB|有最大值. 由①知，A(2,4)、C(0,2)，
∴ D(2,0)、E(4,2). 设直线 DE 对应的函数表达式为 y=ax+n，则$\begin{cases} 2a+n=0, \\ 4a+n=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ n=-2. \end{cases}$
∴ 直线 DE 对应的函数表达式为 y=x - 2. 当 x=0 时，y=-2.
∴ 点 P 的坐标为(0,-2). 故当|PE - PB|最大时，点 P 的坐标为(0,-2).