《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

1. 如图,在矩形纸片 $ABCD$ 中,$AB = 4cm$,$BC = 6cm$. 现将其沿 $AE$ 折叠,使得点 $B$ 落在边 $AD$ 上的点 $B_1$ 处,折痕与边 $BC$ 交于点 $E$,则 $CE$ 的长为 ( )

A.$1cm$
B.$2cm$
C.$3cm$
D.$4cm$

答案： B

2. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 9$,$BC = 3$,将矩形沿 $AC$ 折叠,使点 $B$ 落在点 $B'$ 处,则重叠部分 $\triangle AFC$ 的面积为 ( )

A.$7$
B.$7.5$
C.$6$
D.$6.5$

答案： B

3. 有一张矩形纸片 $ABCD$,已知 $AB = 3$,$AD = 2$,小明按如图所示的步骤折叠纸片,则线段 $DG$ 的长为 ( )

A.$3$
B.$\sqrt{2}$
C.$2$
D.$1$

答案： B

4. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 8$,$BC = 6$. $E$ 为线段 $AB$ 上的动点,将矩形 $ABCD$ 沿 $CE$ 折叠,使点 $B$ 落在矩形内的点 $F$ 处. $AF$ 长的最小值为____.

答案： 4

5. 如图,$AC$ 为矩形 $ABCD$ 的对角线,将矩形 $ABCD$ 分别沿 $AE$、$CF$ 折叠,使点 $B$ 落在 $AC$ 上的点 $M$ 处、点 $D$ 落在 $AC$ 上的点 $N$ 处.
(1) 求证：四边形 $AECF$ 为平行四边形；
(2) 若 $AB = 6$,$AC = 10$,求四边形 $AECF$ 的面积.

答案：
(1)
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC,AB//CD.
∴∠BAC=∠DCA.由折叠,可知∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FCA=$\frac{1}{2}$∠DCA，
∴∠EAC=∠FCA.
∴AE//CF.又
∵AF//EC,
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)在Rt△ABC中,AB=6,AC=10,由勾股定理,得BC=$\sqrt{AC^2-AB^2}$=8.由折叠,可知∠AME=∠ABC=90°,EM=BE,AM=AB=6.
∴CM=AC−AM=10−6=4.设EC=x,则EM=BE=8−x.在Rt△CEM中,由勾股定理,得ME²+CM²=EC²,即(8−x)²+4²=x²,解得x=5.由
(1),得四边形AECF为平行四边形,
∴S▱AECF=EC·AB=5×6=30.