《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

9.(营口中考)如图,将$△ABC$沿着BC方向平移得到$△DEF$,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是____.(写出一个即可)

答案： 答案不唯一,如AB=AD

10. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,$∠BOC= 120^{\circ },DC= 3cm$,则AC的长为____cm.

答案： 6

11. 如图,在矩形ABCD中,$AB= 8,BC= 6$,E为AB上一动点,DE交AC于点F.当$∠CFE= 2∠ACB$时,线段DF的长为____.

答案： 5

12. 如图,在由菱形和正方形组成的装饰图案中,已知菱形ABCD的面积是$500cm^{2}$,正方形DEBF的面积是$200cm^{2}$,则对角线AC的长是____cm.

答案： 50

13. 如图,在正方形ABCD中,E是边AD的中点,F是CE上一点.过点答案讲解F作$GH⊥CE$,分别交AB、CD于点G、H.若$BG= 1,CH= 5$,则AG的长为____.

答案： 7 解析:过点G作GM⊥CD于点M.
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ ∠B=∠BCD=∠D=90°,BC=CD=AD.
∵ GM⊥CD,
∴ 四边形GBCM是矩形.
∴ GM=BC=CD,CM=BG=1,∠GMH=90°=∠D.
∵ GH⊥CE,
∴ ∠CFH=90°.
∴ ∠DCE=90°-∠FHM=∠MGH.在△GMH和△CDE中,{∠MGH=∠DCE,GM=CD,∠GMH=∠D,
∴ △GMH≌△CDE.
∴ HM=ED.
∵ CH=5,
∴ HM=CH-CM=5-1=4.
∴ ED=HM=4.
∵ E是AD的中点,
∴ AB=AD=2ED=8.
∴ AG=AB-BG=8-1=7.

14.(9分)(济南中考)如图,在菱形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,连结DE、DF,$∠ADF= ∠CDE$.求证：$AE= CF$.

答案：
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ DA=DC.
∴ ∠DAC=∠DCA.
∵ ∠ADF=∠CDE,
∴ ∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF,即∠ADE=∠CDF.在△DAE和△DCF中,{∠DAE=∠DCF,DA=DC,∠ADE=∠CDF,
∴ △DAE≌△DCF.
∴ AE=CF.

15.(10分)(六盘水中考)如图,在$□ ABCD$中,AE平分$∠BAC$,CF平分$∠ACD$.
(1)求证：$△ABE\cong △CDF$.
(2)当$△ABC$满足什么条件时,四边形AECF是矩形？请说明理由.

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=CD,∠B=∠D,AB//CD.
∴ ∠BAC=∠ACD.
∵ AE平分∠BAC,CF平分∠ACD,
∴ ∠BAE=∠CAE=1/2∠BAC,∠DCF=∠ACF=1/2∠ACD.
∴ ∠BAE=∠DCF.在△ABE和△CDF中,{∠B=∠D,AB=CD,∠BAE=∠DCF,
∴ △ABE≌△CDF.
(2)当△ABC满足AB=AC时,四边形AECF是矩形.理由:由
(1),易知∠CAE=∠ACF,
∴ AE//CF.
∵ △ABE≌△CDF,
∴ AE=CF.
∴ 四边形AECF是平行四边形.又
∵ AB=AC,AE平分∠BAC,
∴ AE⊥BC.
∴ ∠AEC=90°.
∴ 四边形AECF是矩形.