《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

4. 如图①,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB= 90°,AC= BC,D是BC边上任意一点(不与点B、C重合),连结AD,CF⊥AD于点E,交AB于点F,BG⊥BC,交CF的延长线于点G.
(1) 求证：△CBG≌△ACD.
(2) 如图②,当D为BC的中点时,其他条件不变,连结DF,则∠BDF= ∠CDE吗？若相等,请写出证明过程；若不相等,请说明理由.

答案：
(1)
∵CG⊥AD,BG⊥BC,∠ACB=90°,
∴∠CEA=∠CBG=∠ACD=90°.
∴∠BCG+∠ACE=90°,∠ACE+∠EAC=90°.
∴∠BCG=∠EAC.在△CBG和△ACD中,∠BCG=∠CAD,CB=AC,∠CBG=∠ACD,
∴△CBG≌△ACD.
(2)∠BDF=∠CDE.由
(1),知△CBG≌△ACD,
∴BG=CD,∠G=∠ADC.
∵D为BC的中点,
∴CD=BD.
∴BD=BG.
∵CB=CA,∠ACB=90°,
∴∠CBA=45°.
∵∠CBG=90°,
∴∠FBG=∠FBD=45°.在△FBD和△FBG中,BD=BG,∠FBD=∠FBG,BF=BF,
∴△FBD≌△FBG.
∴∠BDF=∠G.
∴∠BDF=∠ADC,即∠BDF=∠CDE.

5. 新考法 探究题 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA= ∠BAC= ∠AEC= α.
(1) 如图①,当α= 90°时,猜想线段DE、BD、CE之间的数量关系：____.
(2) 如图②,当0°＜α＜180°时,问题(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由.
(3) 如图③,当α= 120°时,F为∠BAC平分线上的一点,且AB= AF,连结FB、FD、FE、FC. 试判断△DEF的形状,并说明理由.

答案：
(1)DE=BD+CE. 解析:
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°,
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°.
∴∠DBA=∠EAC.
∵AB=AC,
∴△DBA≌△EAC.
∴AD=CE,BD=AE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)成立.
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α,
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α.
∴∠DBA=∠EAC.
∵AB=AC,
∴△DBA≌△EAC.
∴BD=AE,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)△DEF是等边三角形.理由:
∵α=120°,AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF=60°.
∵AB=AF=AC,
∴△ABF和△ACF都是等边三角形.
∴FA=FC,∠FCA=∠FAB=∠AFC=60°.由
(2),可知△DBA≌△EAC,
∴∠BAD=∠ACE,AD=CE.
∴易得∠FAD=∠FCE.
∴△FAD≌△FCE.
∴DF=EF,∠DFA=∠EFC.
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=∠AFC=60°.
∴△DEF是等边三角形.

6. 小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图①,∠MAN+∠DCB= 180°,AC平分∠MAN,点B、D分别在AN、AM所在直线上.
(1) 小明猜想：CD= CB,以下是小明的证明过程,有两个步骤还空着,请你补充完整.
证明：过点C分别作AM、AN的垂线,垂足分别为E、F.
∵ AC平分∠MAN,
∴ ____=____. (角平分线上一点到这个角两边的距离相等)
∵ ∠MAN+∠DCB= 180°,四边形ABCD的内角和等于360°,
∴ ∠ADC+∠CBF= 180°.
又∵ ∠ADC+∠CDE= 180°,
∴ ____=____.
又∵ ∠CED= ∠CFB= 90°,
∴ △CED≌△CFB.
∴ CD= CB.
(2) 如图②,当∠DCB绕点C逆时针旋转,CD交MA的延长线于点D,CB交射线AN于点B时,请证明(1)中的结论CD= CB依然成立.
(3) 如图③,若∠MAN= 120°,写出线段AB、AD、AC之间的数量关系,并证明.
(4) 如图④,△ABC为等边三角形,边长为4,O为BC的中点,∠EOF= 120°,其两边分别交AB和CA的延长线于点E、F,则AE-AF= ____.

答案：
(1)CE;CF;∠CDE;∠CBF.
(2)过点C分别作AM、AN的垂线,垂足分别为E、F.
∵AC平分∠MAN,CE⊥AM,CF⊥AN,
∴CE=CF,∠CEA+∠CFA=180°.
∴∠MAN+∠ECF=180°.
∵∠MAN+∠DCB=180°,
∴∠ECF=∠DCB.
∴易得∠ECD=∠FCB.又
∵∠CED=∠CFB=90°,
∴△CED≌△CFB.
∴CD=CB.
(3)AB - AD=AC.过点C分别作AM、AN的垂线,垂足分别为E、F.
∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠EAC=∠FAC=60°.
∴AC=2AF=2AE.由
(2),知△CED≌△CFB,
∴ED=FB.
∴AB - AD=AF+FB - AD=AF+ED - AD=AF+AE=2AF=AC,即AB - AD=AC.
(4)6.