《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

8. 在①$AD= BC$；②$AD// BC$；③$∠BAD= $
$∠BCD$这三个条件中选择一个你认为合适
的条件,补充在下面的问题中,并回答问题.
问题：如图,在四边形$ABCD$中,对角线
$AC$、$BD相交于点O$,$OA= OC$. 若____
(填序号),求证：四边形$ABCD$为平行四
边形.

答案： ②.
∵AD//BC，
∴∠DAO=∠BCO.在△AOD和△COB中，∠DAO=∠BCO，OA=OC，∠DOA=∠BOC，
∴△AOD≌△COB.
∴OD=OB.又
∵OA=OC，
∴四边形ABCD为平行四边形.

9. 如图,$G$、$H是△ABC的边AC$的三等分点,
$GE// BH交AB于点E$,$HF// BG交BC$于
点$F$,延长$EG$、$FH交于点D$,连结$AD$、
$DC$、$BD$,且$AC和BD交于点O$. 求证：四边
形$ABCD$是平行四边形.

答案：
∵GE//BH，HF//BG，
∴四边形GBHD是平行四边形.
∴GH与BD互相平分.
∴GO=HO，BO=DO.
∵G、H是△ABC的边AC的三等分点，
∴AG=HC.
∴AG+GO=HC+HO，即AO=CO.
∴四边形ABCD是平行四边形.

10. 如图,$AB$、$CD相交于点O$,$AC//$
$DB$,$OA= OB$,$E$、$F分别是OC$、
$OD$的中点. 求证：
(1)$OC= OD$；
(2)四边形$AFBE$是平行四边形.

答案： （1）
∵AC//BD，
∴∠C=∠D.在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，∠COA=∠DOB，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD.
∴OC=OD.（2）
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OE=1/2OC，OF=1/2OD.
∵OC=OD，
∴OE=OF.又
∵OA=OB，
∴四边形AFBE是平行四边形.