《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

3. (杭州中考)设函数$y_{1}= \frac {k_{1}}{x}$,函数$y_{2}= k_{2}x+b$.$(k_{1}$、$k_{2}$、$b$均是常数,且$k_{1}≠0,k_{2}≠0)$
(1)若函数$y_{1}和函数y_{2}的图象交于点A(1,m)和点B(3,1)$.
①求函数$y_{1}$、$y_{2}$的表达式;
②当$2＜x＜3$时,比较$y_{1}与y_{2}$的大小.(直接写出结果)
(2)若点$C(2,n)在函数y_{1}$的图象上,点$C先向下平移2$个单位,再向左平移$4$个单位,得到点$D$,点$D恰好落在函数y_{1}$的图象上,求$n$的值.

答案： 3.
(1)①把B(3,1)代入$y_1=\frac{k_1}{x}$，得$k_1=3×1=3$。
∴函数$y_1$的表达式为$y_1=\frac{3}{x}$；把A(1,m)代入$y_1=\frac{3}{x}$，得$m=\frac{3}{1}=3$。
∴点A的坐标为(1,3)。把A(1,3)、B(3,1)代入$y_2=k_2x + b$，得$\begin{cases}k_2 + b=3, \\3k_2 + b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-1, \\b=4.\end{cases}$
∴函数$y_2$的表达式为$y_2=-x + 4$。
②$y_1＜y_2$。
(2)由平移，可得点D的坐标为(−2,n - 2)。
∵点C、D都在函数$y_1$的图象上，
∴$-2(n - 2)=2n$，解得$n = 1$。

4. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$ABCD的顶点C与原点O$重合,点$B在y$轴的正半轴上,点$A在反比例函数y= \frac {k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,点$D的坐标为(4,3)$.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)若将菱形$ABCD的边OD沿x$轴正方向平移,当点$D落在函数y= \frac {k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上时,求线段$OD$扫过的图形的面积.
(3)在$x轴上是否存在一点P$,使$PA+PB$有最小值? 若存在,请直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 4.
(1)过点D作x轴的垂线，垂足为F。
∵点D的坐标为(4,3)，
∴OF = 4，DF = 3。
∴$OD=\sqrt{OF^2 + DF^2}=5$。
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD = OD = 5，AD//OB。易证AD⊥x轴，AF = 8。
∴点A的坐标为(4,8)。
∵点A(4,8)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$k=4×8=32$。
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{32}{x}(x＞0)$。
(2)将OD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数$y=\frac{32}{x}(x＞0)$的图象上，设落点为$D'$，过点$D'$作x轴的垂线，垂足为$F'$。
∵DF = 3，
∴$D'F'=3$。
∴点$D'$的纵坐标为3。
∵点$D'$在反比例函数$y=\frac{32}{x}$的图象上，
∴$3=\frac{32}{x}$，解得$x=\frac{32}{3}$。
∴点$D'$的坐标为$(\frac{32}{3},3)$。
∴$DD'=\frac{32}{3}-4=\frac{20}{3}$。又
∵线段OD扫过的图形为平行四边形，
∴这个平行四边形的面积$=\frac{20}{3}×3=20$，即线段OD扫过的图形的面积为20。
(3)存在。点P的坐标为$(\frac{20}{13},0)$。