《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

典例1 下列式子中,一定是二次根式的为( )

A.$\sqrt {a}$
B.$\sqrt [3]{2}$
C.$\sqrt {x^{2}+1}$
D.$\sqrt {-1}$
点拨$\sqrt {a}$中的a可能是负数；$\sqrt [3]{2}$中根的指数是3；由$x^{2}≥0$,可知$x^{2}+1＞0$,即被开方数是正数；$\sqrt {-1}$中的-1是负数.
解答:
解有所悟:(1)一般地,在求二次根式的被开方数中字母的取值范围时,常将其转化为解不等式的问题；(2)当被开方数是分式时,除了保证被开方数是非负数外,还必须保证分母不能为零.

答案： C

典例2 当x取什么实数时,下列各式有意义?
(1)$\sqrt {2x-1}$；
(2)$\sqrt {-x^{2}}$；
(3)$\sqrt {\frac {2}{2-3x}}$；
(4)$\sqrt {x-1}+\sqrt {3-x}$.
点拨 第(1)(4)题直接根据被开方数是非负数建立不等式(组)求范围；第(2)题被开方数$-x^{2}$是非正数,只有为零时才有意义；第(3)题被开方数的分母不能为零,且只能为正数.

答案：
(1)由2x-1≥0,得x≥$\frac{1}{2}$,
∴当x≥$\frac{1}{2}$时,$\sqrt{2x-1}$有意义.
(2)由$-x^2$≥0,得$x^2$≤0.又
∵$x^2$≥0,
∴x=0.
∴当x=0时,$\sqrt{-x^2}$有意义.
(3)由2-3x＞0,得x＜$\frac{2}{3}$,
∴当x＜$\frac{2}{3}$时,$\sqrt{\frac{2}{2-3x}}$有意义.
(4)由$\begin{cases}x-1\geq0, \\3-x\geq0, \end{cases}$得1≤x≤3,
∴当1≤x≤3时,$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$有意义.

解答:

答案： 由于题目具体内容没有给出，我将基于“数学八年级华师大版全一册章节：21.1 二次根式”这一信息，模拟一个典型的二次根式题目并给出解答。
题目：化简二次根式 $\sqrt{50}$。
【解析】：本题考查二次根式的化简。为了化简这个二次根式，我们需要找到50的因子中的完全平方数，并将其提取出来。
首先，对50进行质因数分解，得到 $50 = 2 × 5 × 5$。
然后，我们可以从中提取出完全平方数 $5 × 5 = 25$。
因此，$\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = \sqrt{25} × \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$。
【答案】：$5\sqrt{2}$。

典例3 化简下列各式:
(1)$\sqrt {25^{2}}$；
(2)$\sqrt {(-\frac {10}{7})^{2}}$；
(3)$\sqrt {x^{2}-4x+4}(x＜2)$.
点拨 (1)直接利用性质$\sqrt {a^{2}}= a(a≥0)$进行化简；(2)直接利用性质$\sqrt {a^{2}}= -a(a＜0)$进行化简；(3)需先将被开方数写成完全平方式的形式,再根据条件化简.
解答:

答案：
(1)原式=25.
(2)原式=$\frac{10}{7}$.
(3)原式=$\sqrt{(x-2)^2}$=|x-2|.
∵x＜2,
∴x-2＜0.
∴原式=|x-2|=2-x.