《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学华师大版》

10. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$AB = 12$,$E$ 是 $CD$ 上一点,且 $DE = 3$,$F$ 是 $AD$ 上一动点,连结 $EF$. 若将正方形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠后,点 $D$ 落在点 $D'$ 处,则点 $D'$ 到点 $B$ 的最短距离为____.

答案： 12

11. 如图,$E$、$F$ 分别是正方形 $ABCD$ 的边 $AB$、$AD$ 的中点,连结 $EC$、$BF$,将正方形 $ABCD$ 沿 $BF$ 折叠,使点 $A$ 落在点 $Q$ 处,延长 $FQ$ 交 $DC$ 于点 $G$.
(1) 求证：$BF = CE$；
(2) 若 $AB = 4$,求 $FG$ 的长.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠ABC=90°.
∵E、F分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{2}$AD.
∴BE=AF.在△ABF和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}AB=BC,\\ ∠A=∠CBE=90°,\\ AF=BE,\end{array}\right.$
∴ △ABF≌△BCE.
∴ BF=CE.
(2)连结BG.由折叠,可知BQ=AB，∠BQF=∠A=90°，
∴BC=BQ，∠BQG=∠BCG=90°.在Rt△BQG和Rt△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}BG=BG,\\ BQ=BC,\end{array}\right.$
∴ Rt△BQG≌Rt△BCG.
∴ QG=CG.
∵AD=DC=AB=4，FQ=AF=FD=$\frac{1}{2}$AD=2，设CG=x，则DG=DC−CG=4−x，FG=FQ+QG=AF+CG=2+x.在Rt△DFG中,根据勾股定理,得DF²+DG²=FG²,即2²+(4−x)²=(2+x)²,解得x=$\frac{4}{3}$.
∴QG=CG=$\frac{4}{3}$.
∴FG=2+x=2+$\frac{4}{3}$=$\frac{10}{3}$.

12. 通过折纸活动,可以探索图形的性质,也可以得到一些特殊的图形. 如图,取一张正方形纸片 $ABCD$,第一次先将其对折,展开后进行第二次折叠,使正方形右下角的顶点 $C$ 落在第一次的折痕 $EF$ 上的点 $G$ 处,折痕为 $BH$. 试探究 $\angle CBH$、$\angle GBH$、$\angle GBA$ 之间的数量关系,并说明理由.

答案： ∠CBH=∠GBH=∠GBA.理由:连结CG.由第一次折叠，知点B、C关于EF对称,
∴EF垂直平分BC.
∴BG=CG.由第二次折叠，知△BCH≌△BGH.
∴BG=BC.
∴BG=CG=BC.
∴△BCG是等边三角形.
∴∠CBG=60°.
∵△BCH≌△BGH,
∴∠CBH=∠GBH=$\frac{1}{2}$∠CBG=30°.
∵∠ABC=90°,
∴∠GBA=90°−60°=30°.
∴∠CBH=∠GBH=∠GBA.