《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

19. 如图,点$A$,$B$,$C$在数轴上,点$O$为原点。线段$AB的长为12$,$BO = \frac{1}{2}AB$,$CA = \frac{1}{3}AB$。
(1)求线段$BC$的长；
(2)求数轴上点$C$表示的数；
(3)若点$D$在数轴上,且使$DA = \frac{2}{3}AB$,求点$D$表示的数。

答案：
(1)因为AB=12，$CA = \frac{1}{3}AB$，所以CA=4，
所以BC=AB−CA=8。
(2)因为AB=12，$BO = \frac{1}{2}AB$，$CA = \frac{1}{3}AB$，
所以BO=AO=6，CA=4。
所以CO=AO−CA=2。
所以数轴上点C表示的数为−2。
(3)因为AB=12，$DA = \frac{2}{3}AB$，所以DA=8。
当点D在点A的左边时，DO=DA+AO=8+6=14；
当点D在点A的右边时，DO=DA−AO=8−6=2，
所以数轴上点D表示的数为−14或2。

20. 如图,在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点,正方形$OABC的边OA$,$OC分别在x$轴、$y$轴上,点$B的坐标为(2,2)$,反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0,k\neq0)的图象经过线段BC的中点D$。
(1)求$k$的值；
(2)若点$P(x,y)$在该反比例函数的图象上运动(不与点$D$重合),过点$P作PR\perp y轴于点R$,作$PQ\perp BC所在直线于点Q$,记四边形$CQPR的面积为S$,求$S关于x的函数表达式并写出x$的取值范围。

答案：

(1)
∵正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2,2)，
∴C(0,2)。
∵点D是BC的中点，
∴D(1,2)。
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$(x＞0，k≠0)的图象经过点D，
∴$2 = \frac{k}{1}$，即k=2。
(2)当点P在直线BC的上方，即0＜x＜1时，如图①。
∵点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动，
∴$y = \frac{2}{x}$，
∴$S = CQ \cdot PQ = x \cdot (\frac{2}{x} - 2) = 2 - 2x(0 ＜ x ＜ 1)$。

当点P在直线BC的下方，即x＞1时，如图②，
同理求出$S = CQ \cdot PQ = x \cdot (2 - \frac{2}{x}) = 2x - 2(x ＞ 1)$。
综上，$S = \begin{cases}2x - 2,x ＞ 1\\2 - 2x,0 ＜ x ＜ 1\end{cases}$。