《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

21. 若点$A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|$.
(ⅰ)当$A,B$两点中有一点在原点时,不妨设点$A$在原点,如图①,则$|AB|= |OB|= |b|= |a - b|$.
(ⅱ)当$A,B$两点都不在原点时:
①当点$A,B$都在原点的右边时,如图②,则$|AB|= |OB|-|OA|= |b|-|a|= b - a= |a - b|$;
②当点$A,B$都在原点的左边时,如图③,则$|AB|= |OB|-|OA|= |b|-|a|= -b-(-a)= |a - b|$;
③当点$A,B$在原点的两边时,如图④,则$|AB|= |OA|+|OB|= |a|+|b|= a+(-b)= |a - b|$.
(1

)数轴上表示$2和5$的两点之间的距离是____,数轴上表示$-2和-5$的两点之间的距离是____,数轴上表示$1和-3$的两点之间的距离是____;
(2)数轴上表示$x和-1的两点A,B$之间的距离是____,如果$|AB| = 2$,那么$x$为____;
(3)当代数式$|x + 1|+|x - 2|$取最小值时,求$x$的取值范围,并求出最小值.

答案：
(1) 3 3 4
(2) $ |x + 1| $ -3 或 1
(3) 把代数式 $ |x + 1| + |x - 2| $ 变形为 $ |x - (-1)| + |x - 2| $，也就是在数轴上表示 $ x $ 的点到表示 -1 和 2 的点的距离之和，要使该距离之和最小，显然表示 $ x $ 的点应在表示 -1 和 2 的两点之间(含两端点)，即 $ -1 \leq x \leq 2 $，这时代数式 $ |x + 1| + |x - 2| $ 取最小值，最小值为 $ | - 1 - 2| = 3 $。

22. 【问题初探】对于两个正数$a,b(a\neq1)$,定义一种新的运算,记作$\eta(a,b)$,即:如果$a^{c}= b$,那么$\eta(a,b)= c$.例如:$3^{4}= 81$,则$\eta(3,81)= 4$.

(1)根据上述运算填空:$\eta(2,4)= $____;$\eta(2,16)= $____;$\eta(2,64)= $____.
【归纳猜想】
(2)先观察$\eta(2,4),\eta(2,16)与\eta(2,64)$的结果之间的关系.再观察(1)中的三个数$4,16,64$之间的关系.试着归纳:$\eta(a,m)+\eta(a,n)= $____.
【初步应用】
(3)$ABCD的边长为m$,小正方形$CGFE的边长为n$,若$\eta(a,m)+\eta(a,n)= \eta(a,p),\eta(2,m + n)= 4,\eta(2,p)= 5$.求图①中阴影部分的面积.
【拓展延伸】
(4)如图②,四边形$ABED,CGHD$是长方形纸条,按如图所示叠放在一起,将重叠部分的矩形$HFED沿着DE翻折得到矩形DEMN$.若$\eta(a,m)= \eta(b,n)= 2$,矩形$ABMN的面积是5,AN = 4,a + b = 2.5$,求$a,b$的值.

答案：
(1) 2 4 6
(2) $ \eta(a, mn) $
(3) $ \because \eta(a, m) + \eta(a, n) = \eta(a, p), \eta(2, m + n) = 4, \eta(2, p) = 5 $，
$ \therefore p = mn, m + n = 2^4 = 16, p = 2^5 = 32 $，
$ \therefore mn = 32 $。
$ \because (m + n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn $，
$ \therefore m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 16^2 - 2 \times 32 = 192 $，
图中阴影部分的面积 $ = \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}n(m + n) - \frac{1}{2}mn = \frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}n^2 = 96 $。
(4) $ \because \eta(a, m) = \eta(b, n) = 2 $，
$ \therefore m = a^2, n = b^2 $。
$ \because $ 矩形 $ ABMN $ 的面积是 5，
$ \therefore (m + n)(m - n) = 5 $。
$ \because AN = 4 $，
$ \therefore m + n = 4 $，
$ \therefore m - n = \frac{5}{4} $。
$ \because a + b = 2.5 $，
$ \therefore a^2 + b^2 + 2ab = \frac{25}{4} $，即 $ m + n + 2ab = \frac{25}{4} $，
$ \therefore 2ab = \frac{9}{4} $，
$ \therefore (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 4 - \frac{9}{4} = \frac{7}{4} $，
$ \therefore a - b = \pm \frac{\sqrt{7}}{2} $。
$ \because m ＞ n $，
$ \therefore a ＞ b $，
$ \therefore a - b = \frac{\sqrt{7}}{2} $。
$ \because a + b = \frac{5}{2} $，
$ \therefore a = \frac{\sqrt{7} + 5}{4}, b = \frac{5 - \sqrt{7}}{4} $。