《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

21. (9分)(1)计算下列各式：
第1个：$ (a-b)(a+b)= $______；
第2个：$ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)= $______；
第3个：$ (a-b)\left(a^{3}+a^{2} b+a b^{2}+b^{3}\right)= $______.
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律.
(2)猜想：若$ n $为大于1的正整数,则$ (a-b) \cdot \left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}+…+a^{2} b^{n-3}+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)= $______.
(3)利用(2)的猜想结论计算：$ 2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+…+2^{3}+2^{2}+2+1 $.
(4)扩展与应用：计算$ 3^{n-1}+3^{n-2}+3^{n-3}+…+3^{3}+3^{2}+3+1 $.

答案：
(1) $a^{2}-b^{2}$ $a^{3}-b^{3}$ $a^{4}-b^{4}$
(2) $a^{n}-b^{n}$ 解析：由
(1)中已知等式得出的结果为 $a$，$b$ 两数 $n$ 次幂的差，可知若 $n$ 为大于 1 的正整数，则 $(a - b)(a^{n - 1}+a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^{2}+\cdots+a^{2}b^{n - 3}+ab^{n - 2}+b^{n - 1})=a^{n}-b^{n}$。
(3) $2^{n - 1}+2^{n - 2}+2^{n - 3}+\cdots+2^{3}+2^{2}+2 + 1=(2 - 1)(2^{n - 1}+2^{n - 2}+2^{n - 3}+\cdots+2^{3}+2^{2}+2 + 1)=2^{n}-1$。
(4) $3^{n - 1}+3^{n - 2}+3^{n - 3}+\cdots+3^{3}+3^{2}+3 + 1=\frac{1}{2}\times(3 - 1)\cdot(3^{n - 1}+3^{n - 2}+3^{n - 3}+\cdots+3^{3}+3^{2}+3 + 1)=\frac{1}{2}\times(3^{n}-1)=\frac{3^{n}-1}{2}$。

22. (10分)先阅读下列材料,再解答下列问题：
材料：因式分解：$ (x+y)^{2}+2(x+y)+1 $.
解：将“$ x+y $”看成整体,令$ x+y= A $,则
原式$ =A^{2}+2 A+1= (A+1)^{2} $.
再将“$ A $”还原,得原式$ =(x+y+1)^{2} $.
上述解题过程中用到的是“整体思想”. 整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你用整体思想解答下列问题：
(1)因式分解：$ 1+2(x-y)+(x-y)^{2}= $______；
(2)因式分解：$ (a+b)(a+b-4)+4 $；
(3)证明：若$ n $为正整数,则式子$ (n+1)(n+2)\left(n^{2}+3 n\right)+1 $的值一定是某一个整数的平方.

答案：
(1) $(x - y + 1)^{2}$
(2) 令 $A = a + b$，则原式变为 $A(A - 4)+4 = A^{2}-4A + 4=(A - 2)^{2}$，故 $(a + b)(a + b - 4)+4=(a + b - 2)^{2}$。
(3) $(n + 1)(n + 2)(n^{2}+3n)+1=(n^{2}+3n)[(n + 1)(n + 2)]+1=(n^{2}+3n)(n^{2}+3n + 2)+1=(n^{2}+3n)^{2}+2(n^{2}+3n)+1=(n^{2}+3n + 1)^{2}$，
∵ $n$ 为正整数，
∴ $n^{2}+3n + 1$ 也为正整数，
∴ 式子 $(n + 1)(n + 2)(n^{2}+3n)+1$ 的值一定是某一个整数的平方。