《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

21. (10分)若两个一次函数 $ y = k_1x + b_1(k_1 \neq 0) $,$ y = k_2x + b_2(k_2 \neq 0) $,则称函数 $ y = (k_1 + k_2)x + b_1b_2 $ 为这两个函数的“和谐函数”.
(1)求一次函数 $ y = 2x + 3 $ 与 $ y = -4x + 4 $ 的“和谐函数”的表达式,若此“和谐函数”的图象与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,与 $ y $ 轴相交于点 $ B $,求 $ \triangle ABO $ 的面积；
(2)若一次函数 $ y = -ax + 1 $ 与 $ y = x - 2b $ 的“和谐函数”为 $ y = 4x + 3 $,则 $ a = $______,$ b = $______；
(3)已知一次函数 $ y = x + b $ 与 $ y = -kx + 5 $ 的“和谐函数”的图象经过第一、二、四象限,则常数 $ k $,$ b $ 满足的条件为 $ k $______1且 $ b $______0.(用“＞”“=”或“＜”填空)

答案：
(1)由题意，得所求的“和谐函数”的表达式为$y=(2 - 4)x + 3\times4$，
即$y = - 2x + 12$。
令$x = 0$，得$y = 12$；令$y = 0$，得$x = 6$，
则$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}\times6\times12 = 36$。
(2)$-3$ $-\frac{3}{2}$ 解析：根据题意，得$\begin{cases}-a + 1 = 4\\-2b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 3\\b = -\frac{3}{2}\end{cases}$。
(3)$＞$ $＞$ 解析：根据题意，得$\begin{cases}1 - k ＜ 0\\5b ＞ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k ＞ 1\\b ＞ 0\end{cases}$。

22. (10分)快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发,沿同一路线匀速行驶,相向而行,快车到达乙地停留一段时间后,按原路原速返回甲地. 慢车到达甲地比快车到达甲地早 $ \frac{1}{2} $ 小时,慢车速度是快车速度的一半,快、慢两车到达甲地后停止行驶,两车距各自出发地的路程 $ y $(千米)与所用时间 $ x $(小时)的函数图象如图所示,请结合图象信息解答下列问题：
(1)请直接写出快、慢两车的速度.
(2)求快车返回过程中 $ y $(千米)与 $ x $(小时)的函数表达式.
(3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？

答案：
(1)快车速度：120千米/时，慢车速度：60千米/时。
(2)快车停留的时间：$\frac{7}{2}-\frac{180}{120}\times2=\frac{1}{2}$(小时)，
$\frac{1}{2}+\frac{180}{120}=2$(小时)，
∴$C(2,180)$，
设直线$CD$的函数表达式为$y = kx + b$，将$C(2,180)$，$D(\frac{7}{2},0)$代入，得$\begin{cases}180 = 2k + b\\0 = \frac{7}{2}k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 120\\b = 420\end{cases}$，
∴快车返回过程中$y$(千米)与$x$(小时)的函数表达式为$y = - 120x + 420(2\leqslant x\leqslant\frac{7}{2})$。
(3)相遇之前：$120x + 60x + 90 = 180$，解得$x = \frac{1}{2}$；
相遇之后：$120x + 60x - 90 = 180$，解得$x = \frac{3}{2}$；
快车从甲地到乙地需要$180\div120=\frac{3}{2}$(小时)，
快车返回之后：$60x = 90 + 120(x - \frac{1}{2}-\frac{3}{2})$，解得$x = \frac{5}{2}$。
综上所述，两车出发后经过$\frac{1}{2}$小时或$\frac{3}{2}$小时或$\frac{5}{2}$小时时相距90千米的路程。