《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

18. (8分)当 $ x $ 满足条件 $ \begin{cases}x + 1 ＜ 3x - 3,\\\frac{1}{2}(x - 4) ＜ \frac{1}{3}(x - 4)\end{cases} $ 时,求方程 $ x^{2}-2x - 4 = 0 $ 的根.

答案： 解$\begin{cases}x + 1 ＜ 3x - 3\\\frac{1}{2}(x - 4) ＜ \frac{1}{3}(x - 4)\end{cases}$得$2 ＜ x ＜ 4$.
　　解$x^{2}-2x - 4 = 0$得$x_{1}=1+\sqrt{5},x_{2}=1-\sqrt{5}$
　　又$\because2 ＜ x ＜ 4$，$\therefore x = 1+\sqrt{5}$

19. (8分)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2x + m = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_{1},x_{2} $.
(1)求实数 $ m $ 的取值范围；
(2)若 $ x_{1}-x_{2} = 2 $,求实数 $ m $ 的值.

答案：
(1)由题意得$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times1\times m = 4 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 1$，
　　即实数$m$的取值范围是$m ＜ 1$.
(2)由根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=2$，
　　即$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}-x_{2}=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=2\\x_{2}=0\end{cases}$
　　由根与系数的关系得$m = 2\times0 = 0$.

20. (8分)如图,$ A,B,C,D $ 为矩形的四个顶点,$ AB = 16cm $,$ AD = 6cm $,动点 $ P,Q $ 分别从点 $ A,C $ 同时出发,点 $ P $ 以 $ 3cm/s $ 的速度向点 $ B $ 移动,一直到达点 $ B $ 为止,点 $ Q $ 以 $ 2cm/s $ 的速度向点 $ D $ 移动.
(1)$ P,Q $ 两点从出发开始到几秒时,四边形 $ PBCQ $ 的面积为 $ 33cm^{2} $？
(2)$ P,Q $ 两点从出发开始到几秒时,点 $ P $ 和点 $ Q $ 之间的距离是 $ 10cm $？

答案：

(1)设$P,Q$两点从出发开始到$x$秒时，四边形$PBCQ$的面积为$33cm^{2}$，此时$PB=(16 - 3x)cm$，$QC = 2xcm$。根据梯形的面积公式，得$(16 - 3x + 2x)\times6\div2 = 33$，解得$x = 5$。
　　故$P,Q$两点从出发开始到$5$秒时，四边形$PBCQ$的面积为$33cm^{2}$。
(2)设$P,Q$两点从出发开始到$t$秒时，点$P,Q$之间的距离是$10cm$。
　　如图，过点$Q$作$QE\perp AB$，垂足为$E$，
　　则$QE = AD = 6cm$，$PQ = 10cm$。
　　$\because PA = 3tcm$，$CQ = BE = 2tcm$，
　　$\therefore PE = |16 - 5t|cm$
　　由勾股定理，得$(16 - 5t)^{2}+6^{2}=10^{2}$，
　　解得$t_{1}=4.8$，$t_{2}=1.6$。故$P,Q$两点从出发开始到$1.6$秒或$4.8$秒时，点$P$和点$Q$之间的距离是$10cm$。