《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

18. 若$a,b,c为\triangle ABC$的三边长,化简:$\sqrt{(a + b + c)^{2}}-\sqrt{(a - b - c)^{2}}+\sqrt{(b - c + a)^{2}}$.

答案： $ \because a, b, c $ 为 $ \triangle ABC $ 的三边长，$ \therefore a ＜ b + c, c ＜ a + b $，
$ \therefore $ 原式 $ = |a + b + c| - |a - b - c| + |b - c + a| = a + b + c + a - b - c + b + c = 3a + b - c $。

19. 已知$a^{2}+b^{2}-2a - 4b + 5 = 0$,求$ab - 1$的值.

答案： $ \because a^2 + b^2 - 2a - 4b + 5 = (a - 1)^2 + (b - 2)^2 = 0 $，$ \therefore a = 1, b = 2 $，
$ \therefore ab - 1 = 1 \times 2 - 1 = 1 $。

20. 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3 + 2\sqrt{2}= (1+\sqrt{2})^{2}$,善于思考的小明进行了以下探索:
设$a + b\sqrt{2}= (m + n\sqrt{2})^{2}$(其中$a,b,m,n$均为正整数),则有$a + b\sqrt{2}= m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt{2}$,
$\therefore a= m^{2}+2n^{2},b = 2mn$.
这样小明就找到了一种把类似$a + b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法.
请你依照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时,若$a + b\sqrt{3}= (m + n\sqrt{3})^{2}$,用含$m,n的式子分别表示a,b$,得$a= $____,$b= $____;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数$a,b,m,n$填空:____+____$\sqrt{3}= $(____+____$\sqrt{3})^{2}$;
(3)若$a + 4\sqrt{3}= (m + n\sqrt{3})^{2}$,且$a,m,n$均为正整数,求$a$的值.

答案：
(1) $ m^2 + 3n^2 $ $ 2mn $
(2) 4 2 1 (答案不唯一)
(3) 根据题意，得 $ \begin{cases} a = m^2 + 3n^2 \\ 4 = 2mn \end{cases} $。
$ \because m, n $ 为正整数，$ \therefore m = 2, n = 1 $ 或 $ m = 1, n = 2 $，
$ \therefore a = 13 $ 或 $ a = 7 $。