《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

21. (10分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$MN// BD$ 交 $AC$ 于点 $P$,$\angle ACB$,$\angle ACD$ 的平分线分别交 $MN$ 于点 $E$,$F$。
(1)求证：$PE = PF$。
(2)当 $MN$ 与 $AC$ 的交点 $P$ 在什么位置时,四边形 $AECF$ 是矩形？说明理由。
(3)当 $\triangle ABC$ 满足什么条件时,四边形 $AECF$ 是正方形？(不需要证明)

答案：
(1)
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE.
∵MN//BC,
∴∠PEC=∠BCE,
∴∠ACE=∠PEC,
∴PE=PC.同理可得PF=PC,
∴PE=PF.
(2)当P是AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
∵PA=PC,PF=PE,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵PE=PC,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
(3)当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形.

22. (10分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $AB$ 上一点,$DE\perp AC$ 于点 $E$,$F$ 是 $AD$ 的中点,$FG\perp BC$ 于点 $G$,与 $DE$ 交于点 $H$,若 $FG = AF$,$AG$ 平分 $\angle CAB$,连结 $GE$,$GD$。
(1)求证：$\triangle ECG\cong\triangle GHD$；
(2)小亮同学经过探究发现：$AD = AC + EC$,请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3)若 $\angle B = 30^{\circ}$,判定四边形 $AEGF$ 是否为菱形,并说明理由。

答案：

(1)
∵AF=FG,
∴∠FAG=∠FGA.
∵AG平分∠CAB,
∴∠CAG=∠FAG,
∴∠CAG=∠FGA,
∴AC//FG.
∵DE⊥AC,
∴FG⊥DE.
∵FG⊥BC,
∴DE//BC,
∴AC⊥BC,
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.
∵F是AD的中点,FG//AE,
∴H是ED的中点,
∴FG是线段ED的垂直平分线,
∴GE=GD,
∴∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,
∴△ECG≌△GHD.
(2)如图,过点G作GP⊥AB于点P,
∴GC=GP,
而AG=AG,

∴△CAG≌△PAG,
∴AC=AP.
由
(1)可得EG=DG,
∴Rt△ECG≌Rt△DPG,
∴EC=PD,
∴AD=AP+PD=AC+EC.
(3)四边形AEGF是菱形.理由:
∵∠B=30°,
∴∠ADE=30°,
∴AE=$\frac{1}{2}$AD,
∴AE=AF=FG,由
(1)得AE//FG,
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形.