《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

19. 如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图,乙槽中有一个圆柱形铁块(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)．现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度$y(cm)与注水时间x(min)$之间的关系如图②所示．根据图象提供的信息,解答下列问题．
(1)图②中折线$ABC$表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系,线段$DE$表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”或“乙”),点$B$的纵坐标表示的实际意义是______．
(2)注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同？
(3)若乙槽的底面积为$36cm^2$(壁厚不计),求乙槽中铁块的体积．
(4)若乙槽中铁块的体积为$112cm^3$(壁厚不计),求甲槽的底面积(直接写结果)．

答案：
(1) 乙 甲 乙槽中的圆柱形铁块的高度为 14 cm
(2) 设线段 $AB$ 所在直线的解析式为 $y_{1} = kx + b$，过点 $(0,2)$，$(4,14)$，可得解析式为 $y_{1} = 3x + 2$；设线段 $DE$ 所在直线的解析式为 $y_{2} = mx + n$，过点 $(0,12)$，$(6,0)$，可得解析式为 $y_{2} = -2x + 12$。当 $y_{1} = y_{2}$ 时，$3x + 2 = -2x + 12$，解得 $x = 2$，即注水 2 min 时，甲、乙两个水槽中水的深度相同。
(3) 设铁块的底面积为 $S_{铁}$，
由题意，得 $\frac{(19 - 14)×36}{6 - 4} = \frac{(14 - 2)(36 - S_{铁})}{4}$，
解得 $S_{铁} = 6 cm^{2}$，$\therefore$ 铁块的体积 $V_{铁} = 6×14 = 84(cm^{3})$。
(4) $60 cm^{2}$

20. 甲、乙两商店出售同样的茶壶和茶杯,茶壶每只定价$20$元,茶杯每只定价$5$元,两家商店搞促销活动,甲店：买一只茶壶赠一只茶杯；乙店：按定价的$9$折优惠,某顾客需购买茶壶$4$只,茶杯若干只(不少于$4$只)．
(1)设购买茶杯数为$x$(只),在甲店购买的付款数为$y_{甲}$(元),在乙店购买的付款数为$y_{乙}$(元),分别写出在两家商店购物的付款数与茶杯数$x$之间的关系式．
(2)当购买多少只茶杯时,两家商店的花费相同？
(3)当购买$20$只茶杯时,去哪家商店购物比较合算？

答案：
(1) $y_{甲} = 20×4 + 5(x - 4) = 5x + 60$，
$y_{乙} = (20×4 + 5x)×0.9 = 4.5x + 72$。
(2) 当 $y_{甲} = y_{乙}$ 时，$5x + 60 = 4.5x + 72$，
解得 $x = 24$，
$\therefore$ 当购买 24 只茶杯时，两家商店的花费相同。
(3) 当 $x = 20$ 时，$y_{甲} = 160$，$y_{乙} = 90 + 72 = 162$，
$\because y_{甲} ＜ y_{乙}$，
$\therefore$ 去甲商店购买比较合算。