《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

20. (12分)如图,科技小组准备用材料围建一个面积为$60m^2的矩形科技园ABCD$,其中一边$AB$靠墙,墙长$12m$。设$AD的长为x m$,$DC的长为y m$。
(1)求$y与x$之间的函数表达式；
(2)若围成矩形科技园$ABCD的三边材料总长不超过26m$,材料$AD和DC$的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案。

答案：
(1)由题意，得$S_{矩形ABCD} = AD\cdot DC = xy$，故$y = \frac{60}{x}$。
(2)由$y = \frac{60}{x}$，且x，y都是正整数，可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
$\because 2x + y \leq 26$，$0 ＜ y \leq 12$，$\therefore$符合条件的围建方案为$AD = 5m$，$DC = 12m$或$AD = 6m$，$DC = 10m$或$AD = 10m$，$DC = 6m$。

21. (12分)如图,已知双曲线$y = -\frac{1}{x}与两直线y = -\frac{1}{4}x$,$y = -kx(k ＞ 0$,且$k \neq \frac{1}{4})分别相交于A$,$B$,$C$,$D$四点。
(1)当点$C的坐标为(-1,1)$时,$A$,$B$,$D三点坐标分别是A$(______,______),$B$(______,______),$D$(______,______)。
(2)证明：以点$A$,$D$,$B$,$C$为顶点的四边形是平行四边形。
(3)当$k$为何值时,平行四边形$ADBC$是矩形？并说明理由。

答案：
(1)$( - 2,\frac{1}{2})$ $(2,-\frac{1}{2})$ $(1,-1)$
(2) $\because$反比例函数$y = - \frac{1}{x}$的图象关于原点对称，过原点的直线$y = - \frac{1}{4}x$也关于原点对称，$\therefore OA = OB$。
同理$OC = OD$，$\therefore$四边形ADBC是平行四边形。
(3)当$k = 4$时，平行四边形ADBC为矩形。
理由如下：由
(2)知，四边形ADBC是平行四边形。
当$OA = OC$时，$AB = 2OA = 2OC = CD$。
$\therefore$平行四边形ADBC为矩形。
此时由$OA^2 = OC^2$，得$\frac{1}{k} + k = \frac{17}{4}$，$\therefore k^2 - \frac{17k}{4} + 1 = 0$，
$\therefore k_1 = 4$，$k_2 = \frac{1}{4}$。$\because k \neq \frac{1}{4}$，$\therefore k = 4$，
$\therefore$当$k = 4$时，平行四边形ADBC为矩形。