《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

18. (8分)先化简,再求值：
(1)$(a - \sqrt {3})(a + \sqrt {3}) - a(a - 6)$,其中$a = \sqrt {5} + \frac {1}{2}$；
(2)$(a + b)^{2} + (a - b)(2a + b) - 3a^{2}$,其中$a = -2 - \sqrt {3},b = \sqrt {3} - 2$。

答案：
(1)原式$=a^{2}-3 - a^{2}+6a = 6a - 3$。
当$a=\sqrt{5}+\frac{1}{2}$时，原式$=6\times(\sqrt{5}+\frac{1}{2})-3 = 6\sqrt{5}$。
(2)原式$=a^{2}+2ab + b^{2}+2a^{2}-ab - b^{2}-3a^{2}=ab$。
当$a=-2-\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}-2$时，原式$=(-2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)=1$。

19. (6分)已知$a,b$为有理数,$m,n分别表示5 - \sqrt {7}$的整数部分和小数部分,且$an + bm^{2} = 1$,求$b^{a}$的值。

答案： 由题意，得$m = 2$，$n = 3-\sqrt{7}$，代入$an + bm^{2}=1$，得$(3-\sqrt{7})a + 2^{2}b = 1$，化简，得$3a + 4b - 1-\sqrt{7}a = 0$。$\because a$，$b$为有理数，$\therefore \begin{cases}3a + 4b - 1 = 0,\\a = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 0,\\b=\frac{1}{4}.\end{cases}$ $\therefore b^{a}=(\frac{1}{4})^{0}=1$。

20. (8分)小丽想用一块面积为$444cm^{2}$的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为$288cm^{2}$的长方形纸片,使它的长宽之比为$3:2$。她的想法能实现吗？为什么？

答案： 能实现。理由：设裁出长方形纸片的长为$3x\ cm$，则宽为$2x\ cm$，则$3x\cdot 2x = 288$，解得$x_{1}=4\sqrt{3}$，$x_{2}=-4\sqrt{3}$（舍），$\therefore$长方形的长为$3\times 4\sqrt{3}=12\sqrt{3}(cm)$。$\because$面积为$444\ cm^{2}$的正方形边长为$2\sqrt{111}\ cm$，又$\because (12\sqrt{3})^{2}=432 ＜ 444$，即$12\sqrt{3}＜2\sqrt{111}$，$\therefore$这一想法能实现。