《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

16. 公元3世纪,我国古代数学家刘徽就能利用近似公式$\sqrt {a^{2} + r} \approx a + \frac {r}{2a}得到\sqrt {2}$的近似值。他的算法是：先将$\sqrt {2}看成\sqrt {1^{2} + 1}$,由近似公式得到$\sqrt {2} \approx 1 + \frac {1}{2×1} = \frac {3}{2}$；再将$\sqrt {2}看成\sqrt {(\frac {3}{2})^{2} + (-\frac {1}{4})}$,由近似公式得到$\sqrt {2} \approx \frac {3}{2} + \frac {-\frac {1}{4}}{2×\frac {3}{2}} = \frac {17}{12}$……依此算法,所得$\sqrt {2}$的近似值会越来越精确。当$\sqrt {2}取得近似值\frac {577}{408}$时,近似公式中的$a$是____,$r$是____。

答案： $\frac{17}{12}$或$\frac{24}{17}$ $-\frac{1}{144}$或$\frac{2}{289}$ 解析：由题意，得$\begin{cases}a^{2}+r = 2,\\a+\frac{r}{2a}=\frac{577}{408},\end{cases}$
$\therefore a+\frac{r}{2a}=\frac{2a^{2}+r}{2a}=\frac{a^{2}+2}{2a}=\frac{577}{408}$，$\therefore 408(a^{2}+2)=577\times 2a$，
即$204a^{2}-577a + 408 = 0$。$\therefore (12a - 17)(17a - 24)=0$，
$\therefore a=\frac{17}{12}$或$a=\frac{24}{17}$。$\therefore r = 2 - a^{2}=-\frac{1}{144}$或$\frac{2}{289}$。