《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

21. (10分)为表彰在校庆及运动会中表现优异的同学,初二某班班委会分两次购买了$A$,$B$两种文创产品作为奖品,每次购进同一种奖品的单价相同,具体情况如下表所示:

(1)求$A$,$B$两种奖品的单价分别是多少元.
(2)考虑到啦啦队和后勤服务的同学也做出了很多贡献,班委会计划用不超过$480$元再购买一批奖品,要求三次一共购进$A$,$B两种奖品共100$件,且第三次购进$A种奖品的数量不少于B$种奖品的数量,请问第三次有哪几种购进方案?

答案：
(1)设A种奖品的单价是x元,B种奖品的单价是y元,
由题意得$ \begin{cases} 15x + 20y = 520, \\ 20x + 17y = 616, \end{cases} $解得$ \begin{cases} x = 24, \\ y = 8. \end{cases} $
(2)设第三次购进m件A种奖品,则购进$ 100 - 15 - 20 - 20 - 17 - m = 28 - m $(件)B种奖品,
根据题意得$ \begin{cases} m \geq 28 - m, \\ 24m + 8(28 - m) \leq 480, \end{cases} $
解得$ 14 \leq m \leq 16 $.
又
∵m为正整数,
∴m可以为14,15,16,
∴第三次有3种购进方案.
方案1:购进14件A种奖品,14件B种奖品;
方案2:购进15件A种奖品,13件B种奖品;
方案3:购进16件A种奖品,12件B种奖品.

22. (10分)深化理解:
新定义:对非负实数$x$“四舍五入”到个位的值记为$(x)$,即:当$n$为非负整数时,如果$n - \frac{1}{2} \leq x ＜ n + \frac{1}{2}$,那么$(x) = n$;反之,当$n$为非负整数时,如果$(x) = n$,那么$n - \frac{1}{2} \leq x ＜ n + \frac{1}{2}$.
例如:$(0) = (0.48) = 0$,$(0.64) = (1.49) = 1$,$(2) = 2$,$(3.5) = (4.12) = 4$,…$$.
试解决下列问题:
(1)填空:
①$(\pi) = $______($\pi$为圆周率);
②若$(x - 1) = 3$,则实数$x$的取值范围是______.
(2)若关于$x的不等式组\begin{cases}\frac{2x - 4}{3} \leq x - 1, \\ (a) - x ＞ 0\end{cases}的整数解恰有3$个,求$a$的取值范围.
(3)①关于$x的分式方程\frac{1 - (m)x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$有正整数解,求$m$的取值范围;
②求满足$(x) = \frac{4}{3}x的所有非负实数x$的值.

答案：
(1)①3 ②$ 3.5 \leq x ＜ 4.5 $
(2)解不等式组,得$ -1 \leq x ＜ (a) $,由不等式组的整数解恰有3个,得$ (a) = 2 $,
∴$ 1.5 \leq a ＜ 2.5 $.
(3)①解方程得$ x = \frac{2}{2 - (m)} $.
∵$ 2 - (m) $是整数,x是正整数,
∴$ 2 - (m) = 1 $或2,
当$ 2 - (m) = 1 $时,$ x = 2 $是增根,舍去.
∴$ 2 - (m) = 2 $,
∴$ (m) = 0 $,
∴$ 0 \leq m ＜ 0.5 $.
②由题意,得$ x \geq 0 $,$ \frac{4}{3}x $为整数,
设$ \frac{4}{3}x = k $,k为整数,则$ x = \frac{3}{4}k $,
∴$ (\frac{3}{4}k) = k $,
∴$ k - \frac{1}{2} \leq \frac{3}{4}k ＜ k + \frac{1}{2} $,$ k \geq 0 $,
∴$ 0 \leq k \leq 2 $,
∴$ k = 0,1,2 $,则$ x = 0,\frac{3}{4},\frac{3}{2} $.