《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

18. (8分)已知直线 $ y = \frac{2x - 3}{5} $.
(1)求该直线与 $ y $ 轴的交点 $ A $ 的坐标；
(2)求该直线与 $ x $ 轴的交点 $ B $ 的坐标；
(3)求该直线与两坐标轴围成的 $ \triangle ABO $ 的面积.

答案：
(1)令$x = 0$，得$y = -\frac{3}{5}$，则$A(0,-\frac{3}{5})$。
(2)令$y = 0$，得$x = \frac{3}{2}$，则$B(\frac{3}{2},0)$。
(3)$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}\times\frac{3}{2}=\frac{9}{20}$。

19. (8分)某健身馆普通票价为40元/张,6—9月为了促销,新推出两种优惠卡：①金卡售价1200元/张,每次凭卡不再收费. ②银卡售价300元/张,每次凭卡另收10元. 普通票正常出售,两种优惠卡仅限6—9月使用,不限次数. 设健身 $ x $ 次时,所需总费用为 $ y $ 元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,$ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标；
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.

答案：
(1)
∵银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元。普通票40元/张，
∴银卡消费：$y = 300 + 10x$；普通票消费：$y = 40x$。
(2)在$y = 10x + 300$中，当$x = 0$时，$y = 300$，
∴$A(0,300)$，
联立银卡消费和普通票消费表达式得$\begin{cases}y = 40x\\y = 300 + 10x\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 10\\y = 400\end{cases}$，
∴$B(10,400)$。
当$300 + 10x = 1200$时，解得$x = 90$，
∴$C(90,1200)$。
(3)当$0 ＜ x ＜ 10$时，普通票消费更合算。
当$x = 10$时，银卡与普通票消费相同。
当$10 ＜ x ＜ 90$时，银卡消费更合算。
当$x = 90$时，金卡与银卡消费相同。
当$x ＞ 90$时，金卡消费更合算。

20. (8分)如图,$ A $,$ B $ 分别是 $ x $ 轴上位于原点左、右两侧的点,点 $ P(2,p) $ 在第一象限,直线 $ PA $ 交 $ y $ 轴于点 $ C(0,2) $,直线 $ PB $ 交 $ y $ 轴于点 $ D $,此时 $ S_{\triangle AOP} = 6 $.
(1)求 $ p $ 的值；
(2)若 $ S_{\triangle BOP} = S_{\triangle DOP} $,求直线 $ BD $ 的函数表达式.

答案：

(1)如图，过点$P$作$PF\perp y$轴于点$F$，则$PF = 2$。
∵$C(0,2)$，
∴$CO = 2$。
∴$S_{\triangle COP}=\frac{1}{2}\times2\times2 = 2$。
又$S_{\triangle AOP}=6$，

∴$S_{\triangle COA}=4$，
即$\frac{1}{2}OA\times2 = 4$，
∴$OA = 4$。
∴$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}\times4|p| = 6$，
∴$|p| = 3$。
∵点$P$在第一象限，
∴$p = 3$。
(2)如图，过点$O$作$OH\perp BD$，垂足为$H$，则$OH$为$\triangle BOP$，$\triangle DOP$的高。
∵$S_{\triangle BOP}=S_{\triangle DOP}$，且这两个三角形同高，
∴$DP = BP$，即$P$为$BD$的中点。
过点$P$作$PE\perp x$轴于点$E$，则$E(2,0)$，由
(1)知$F(0,3)$，则$PE = 3$。
∴$OB = 2PF = 4$，$OD = 2PE = 6$，
∴$B(4,0)$，$D(0,6)$。
设直线$BD$的函数表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，
则$\begin{cases}4k + b = 0\\b = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{2}\\b = 6\end{cases}$，
∴直线$BD$的函数表达式为$y = -\frac{3}{2}x + 6$。