《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社八升九数学浙教版》

21. (10分)对于正数$x$,规定$f(x)= \frac {x}{x+1}$,例如：$f(1)= \frac {1}{1+1}= \frac {1}{2},f(2)= \frac {2}{2+1}= \frac {2}{3},f(\frac {1}{2})= \frac {\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}+1}= \frac {1}{3}$.
(1)填空：$f(3)= $______；$f(\frac {1}{3})= $______；$f(4)+f(\frac {1}{4})= $______.
(2)猜想：$f(x)+f(\frac {1}{x})= $______,并证明你的结论.
(3)求值：$f(\frac {1}{2025})+f(\frac {1}{2024})+… +f(\frac {1}{2})+f(1)+f(2)+… +f(2024)+f(2025)$.

答案：
(1) $\frac{3}{4}$ $\frac{1}{4}$ 1
(2) 1
证明：$f(x) = \frac{x}{x + 1}$，$f(\frac{1}{x}) = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{1}{x + 1}$，
∴ $f(x) + f(\frac{1}{x}) = \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = 1$。
(3)
∵ $f(x) + f(\frac{1}{x}) = 1$，
∴ $f(\frac{1}{2025}) + f(\frac{1}{2024}) + \cdots + f(\frac{1}{2}) + f(1) + f(2) + \cdots + f(2024) + f(2025) = [f(\frac{1}{2025}) + f(2025)] + [f(\frac{1}{2024}) + f(2024)] + \cdots + [f(\frac{1}{2}) + f(2)] + f(1) = 2024 + \frac{1}{2} = 2024\frac{1}{2}$。

22. (10分)在一次数学兴趣小组的活动课上,有下面的一段对话,请你阅读完后再解答问题.
老师：同学们,今天我们来探索如下方程的解法：$(\frac {x}{x-1})^{2}-4(\frac {x}{x-1})+4= 0$.
学生甲：老师,原方程可整理为$\frac {x^{2}}{(x-1)^{2}}-\frac {4x}{x-1}+4= 0$,再去分母,行得通吗？
老师：很好,当然可以这样做. 再仔细观察,看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？
学生乙：老师,我发现$\frac {x}{x-1}$是整体出现的！
老师：很好,我们把$\frac {x}{x-1}$看成一个整体,用$y$表示,即可设$\frac {x}{x-1}= y$,那么原方程就变为$y^{2}-4y+4= 0$.
全体学生：噢,等号左边是一个完全平方式！方程可以变形为$(y-2)^{2}= 0$.
老师：大家真会观察和思考,太棒了！显然$y^{2}-4y+4= 0的根是y= 2$,那么就有$\frac {x}{x-1}= 2$.
学生丙：对啦,再解这个方程,可得原方程的根为$x= 2$,再验根就可以了！
老师：同学们,通常我们把这种方法叫做换元法,这是一种重要的转化方法.
全体同学：换元法真神奇！
现在,请你用换元法解下列分式方程(组)：
(1)$(\frac {2x}{x-1})^{2}-\frac {4x}{x-1}+1= 0$；
(2)$\begin{cases}\frac {6}{x-y}+\frac {4}{x+y}= 3,\\\frac {9}{x-y}-\frac {1}{x+y}= 1.\end{cases}$

答案：
(1) 设 $\frac{2x}{x - 1} = y$，则原方程变形为 $y^2 - 2y + 1 = 0$，
即 $(y - 1)^2 = 0$，解得 $y = 1$，即 $\frac{2x}{x - 1} = 1$，解得 $x = -1$。
经检验，$x = -1$ 是原方程的解。
(2) 设 $\frac{1}{x - y} = u$，$\frac{1}{x + y} = v$，则原方程组化为 $\begin{cases}6u + 4v = 3 \\ 9u - v = 1\end{cases}$，
解得 $\begin{cases}u = \frac{1}{6} \\ v = \frac{1}{2}\end{cases}$，即 $\begin{cases}x + y = 2 \\ x - y = 6\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 4 \\ y = -2\end{cases}$。
经检验，$\begin{cases}x = 4 \\ y = -2\end{cases}$ 是原方程组的解。